Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2-x+5
-
(x+1)*(x-2)^2
-
x*(-1-log(x))
-
-sqrt(1-x^2)
- Límite de la función:
-
(6+x^2-7*x)/(x-x^4)
-
Expresiones idénticas
- (seis +x^ dos - siete *x)/(x-x^ cuatro)
- (6 más x al cuadrado menos 7 multiplicar por x) dividir por (x menos x en el grado 4)
- (seis más x en el grado dos menos siete multiplicar por x) dividir por (x menos x en el grado cuatro)
- (6+x2-7*x)/(x-x4)
- 6+x2-7*x/x-x4
- (6+x²-7*x)/(x-x⁴)
- (6+x en el grado 2-7*x)/(x-x en el grado 4)
- (6+x^2-7x)/(x-x^4)
- (6+x2-7x)/(x-x4)
- 6+x2-7x/x-x4
- 6+x^2-7x/x-x^4
- (6+x^2-7*x) dividir por (x-x^4)
-
Expresiones semejantes
- (6-x^2-7*x)/(x-x^4)
- (6+x^2+7*x)/(x-x^4)
- (6+x^2-7*x)/(x+x^4)
Gráfico de la función y = (6+x^2-7*x)/(x-x^4)
Solución
Ha introducido
[src]
2
6 + x - 7*x
f(x) = ------------
4
x - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x}$$
f = (-7*x + x^2 + 6)/(-x^4 + x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 6$$
Solución numérica
$$x_{1} = 6$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 6$$
Solución numérica
$$x_{1} = 6$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{\left(- x^{4} + x\right)^{2}} + \frac{2 x - 7}{- x^{4} + x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{17}{6} + \frac{361}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{17}{6} + \frac{361}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{17}{6} + \frac{361}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{17}{6} + \frac{361}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{\left(- x^{4} + x\right)^{2}} + \frac{2 x - 7}{- x^{4} + x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{17}{6} + \frac{361}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ _________________ \ _________________
| / ______ | / ______
83 |17 / 7073 \/ 9202 361 | / 7073 \/ 9202 2527
- -- + |-- + 3 / ---- + -------- + -------------------------| - 7*3 / ---- + -------- - -------------------------
6 |6 \/ 216 12 _________________| \/ 216 12 _________________
| / ______ | / ______
_________________ | / 7073 \/ 9202 | / 7073 \/ 9202
/ ______ | 36*3 / ---- + -------- | 36*3 / ---- + --------
17 / 7073 \/ 9202 361 \ \/ 216 12 / \/ 216 12
(-- + 3 / ---- + -------- + -------------------------, ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
6 \/ 216 12 _________________ 4
/ ______ _________________ / _________________ \
/ 7073 \/ 9202 / ______ | / ______ |
36*3 / ---- + -------- 17 / 7073 \/ 9202 |17 / 7073 \/ 9202 361 | 361
\/ 216 12 -- + 3 / ---- + -------- - |-- + 3 / ---- + -------- + -------------------------| + -------------------------
6 \/ 216 12 |6 \/ 216 12 _________________| _________________
| / ______ | / ______
| / 7073 \/ 9202 | / 7073 \/ 9202
| 36*3 / ---- + -------- | 36*3 / ---- + --------
\ \/ 216 12 / \/ 216 12 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{17}{6} + \frac{361}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{17}{6} + \frac{361}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{17}{6} + \frac{361}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{9202}}{12} + \frac{7073}{216}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 12.3745884929675$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 12.3745884929675\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[12.3745884929675, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 12.3745884929675$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\left(6 - \frac{\left(4 x^{3} - 1\right)^{2}}{x^{3} \left(x^{3} - 1\right)}\right) \left(x^{2} - 7 x + 6\right)}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x} + \frac{\left(2 x - 7\right) \left(4 x^{3} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{3} - 1\right)}\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 12.3745884929675\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[12.3745884929675, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (6 + x^2 - 7*x)/(x - x^4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{x \left(- x^{4} + x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{x \left(- x^{4} + x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{x \left(- x^{4} + x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{x \left(- x^{4} + x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x} = \frac{x^{2} + 7 x + 6}{- x^{4} - x}$$
- No
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x} = - \frac{x^{2} + 7 x + 6}{- x^{4} - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x} = \frac{x^{2} + 7 x + 6}{- x^{4} - x}$$
- No
$$\frac{- 7 x + \left(x^{2} + 6\right)}{- x^{4} + x} = - \frac{x^{2} + 7 x + 6}{- x^{4} - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar