Sr Examen

Otras calculadoras

(x^2+3)/(x-2)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+3)/(x-2)

Gráfico de la función y = (x^2+3)/(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  + 3
f(x) = ------
       x - 2
f(x)=x2+3x−2f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 3}{x - 2} 
f = (x^2 + 3)/(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+3x−2=0\frac{x^{2} + 3}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 3)/(x - 2).
02+3−2\frac{0^{2} + 3}{-2}
Resultado:
f(0)=−32f{\left(0 \right)} = - \frac{3}{2}
Punto:
(0, -3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx−2−x2+3(x−2)2=0\frac{2 x}{x - 2} - \frac{x^{2} + 3}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−7x_{1} = 2 - \sqrt{7}
x2=2+7x_{2} = 2 + \sqrt{7}
Signos de extremos en los puntos:
                   /               2\  
               ___ |    /      ___\ |  
       ___  -\/ 7 *\3 + \2 - \/ 7 / /  
(2 - \/ 7, --------------------------)
                        7              

                  /               2\ 
              ___ |    /      ___\ | 
       ___  \/ 7 *\3 + \2 + \/ 7 / / 
(2 + \/ 7, ------------------------)
                       7


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2+7x_{1} = 2 + \sqrt{7}
Puntos máximos de la función:
x1=2−7x_{1} = 2 - \sqrt{7}
Decrece en los intervalos
(−∞,2−7]∪[2+7,∞)\left(-\infty, 2 - \sqrt{7}\right] \cup \left[2 + \sqrt{7}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2−7,2+7]\left[2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2xx−2+1+x2+3(x−2)2)x−2=0\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x - 2} + 1 + \frac{x^{2} + 3}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+3x−2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 3}{x - 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+3x−2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 3}{x - 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 3)/(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+3x(x−2))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 3}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2+3x(x−2))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 3}{x \left(x - 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+3x−2=x2+3−x−2\frac{x^{2} + 3}{x - 2} = \frac{x^{2} + 3}{- x - 2}
- No
x2+3x−2=−x2+3−x−2\frac{x^{2} + 3}{x - 2} = - \frac{x^{2} + 3}{- x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+3)/(x-2)
    © Sr Examen – Калькулятор