Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (-x^2)/2+2x+8/(x-2)+5

Gráfico de la función y = (-x^2)/2+2x+8/(x-2)+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2                   
       -x             8      
f(x) = ---- + 2*x + ----- + 5
        2           x - 2
f(x)=((2x+(−1)x22)+8x−2)+5f{\left(x \right)} = \left(\left(2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}\right) + \frac{8}{x - 2}\right) + 5 
f = 2*x + (-x^2)/2 + 8/(x - 2) + 5
Gráfico de la función
-2.00-1.75-1.50-1.25-1.00-0.75-0.50-0.251.000.000.250.500.755-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((2x+(−1)x22)+8x−2)+5=0\left(\left(2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}\right) + \frac{8}{x - 2}\right) + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2+1438+2762i93+8+2762i93x_{1} = 2 + \frac{14}{3 \sqrt[3]{8 + \frac{2 \sqrt{762} i}{9}}} + \sqrt[3]{8 + \frac{2 \sqrt{762} i}{9}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x^2)/2 + 2*x + 8/(x - 2) + 5.
(8−2+((−1)022+0⋅2))+5\left(\frac{8}{-2} + \left(\frac{\left(-1\right) 0^{2}}{2} + 0 \cdot 2\right)\right) + 5
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x+2−8(x−2)2=0- x + 2 - \frac{8}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1+16(x−2)3=0-1 + \frac{16}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2+223x_{1} = 2 + 2 \sqrt[3]{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(−1+16(x−2)3)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(-1 + \frac{16}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(−1+16(x−2)3)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(-1 + \frac{16}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=2x_{1} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2+223]\left(-\infty, 2 + 2 \sqrt[3]{2}\right]
Convexa en los intervalos
[2+223,∞)\left[2 + 2 \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((2x+(−1)x22)+8x−2)+5)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}\right) + \frac{8}{x - 2}\right) + 5\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((2x+(−1)x22)+8x−2)+5)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}\right) + \frac{8}{x - 2}\right) + 5\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^2)/2 + 2*x + 8/(x - 2) + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((2x+(−1)x22)+8x−2)+5x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}\right) + \frac{8}{x - 2}\right) + 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((2x+(−1)x22)+8x−2)+5x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}\right) + \frac{8}{x - 2}\right) + 5}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((2x+(−1)x22)+8x−2)+5=−2x+(−1)x22+5+8−x−2\left(\left(2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}\right) + \frac{8}{x - 2}\right) + 5 = - 2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2} + 5 + \frac{8}{- x - 2}
- No
((2x+(−1)x22)+8x−2)+5=2x−(−1)x22−5−8−x−2\left(\left(2 x + \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}\right) + \frac{8}{x - 2}\right) + 5 = 2 x - \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2} - 5 - \frac{8}{- x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор