Sr Examen

Otras calculadoras

log(x/(x^2+1))
Trazado el gráfico de la función/ log(x/(x^2+1))

Gráfico de la función y = log(x/(x^2+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  x   \
f(x) = log|------|
          | 2    |
          \x  + 1/
f(x)=log⁡(xx2+1)f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} \right)} 
f = log(x/(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5.00.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(xx2+1)=0\log{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x/(x^2 + 1)).
log⁡(002+1)\log{\left(\frac{0}{0^{2} + 1} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x2+1)(−2x2(x2+1)2+1x2+1)x=0\frac{\left(x^{2} + 1\right) \left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -log(2) + pi*I)

(1, -log(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=1x_{2} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4x2(x2+1)2+2(4x2x2+1−3)x2+1+2x2+1+2x2x2+1−1x2=0- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 3\right)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2+5x_{1} = - \sqrt{2 + \sqrt{5}}
x2=2+5x_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{5}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2+5]∪[2+5,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[\sqrt{2 + \sqrt{5}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2+5,2+5]\left[- \sqrt{2 + \sqrt{5}}, \sqrt{2 + \sqrt{5}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(xx2+1)=−∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(xx2+1)=−∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(xx2+1)=log⁡(−xx2+1)\log{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} \right)} = \log{\left(- \frac{x}{x^{2} + 1} \right)}
- No
log⁡(xx2+1)=−log⁡(−xx2+1)\log{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} \right)} = - \log{\left(- \frac{x}{x^{2} + 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(x/(x^2+1))
    © Sr Examen – Калькулятор