Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x^6)/sin(x)^5

Gráfico de la función y = sin(x^6)/sin(x)^5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 6\
       sin\x /
f(x) = -------
          5   
       sin (x)
f(x)=sin⁡(x6)sin⁡5(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} 
f = sin(x^6)/sin(x)^5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000000000000010000000000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x6)sin⁡5(x)=0\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π6x_{1} = - \sqrt[6]{\pi}
x2=π6x_{2} = \sqrt[6]{\pi}
Solución numérica
x1=−4.71469441983937x_{1} = -4.71469441983937
x2=−1.58253495993865x_{2} = -1.58253495993865
x3=2.13326686586266x_{3} = 2.13326686586266
x4=72.0000000009149x_{4} = 72.0000000009149
x5=−21.7500000268542x_{5} = -21.7500000268542
x6=−16.0002143529333x_{6} = -16.0002143529333
x7=58.9625856686429x_{7} = 58.9625856686429
x8=22.2499999778413x_{8} = 22.2499999778413
x9=5.99999555251366x_{9} = 5.99999555251366
x10=18.282265069589x_{10} = 18.282265069589
x11=4.89408425661496x_{11} = 4.89408425661496
x12=−45.7526400606947x_{12} = -45.7526400606947
x13=26.1963407803286x_{13} = 26.1963407803286
x14=70.7491105533523x_{14} = 70.7491105533523
x15=93.9999999999592x_{15} = 93.9999999999592
x16=−32.0252992660742x_{16} = -32.0252992660742
x17=−10.9166636358375x_{17} = -10.9166636358375
x18=7.81146899419599x_{18} = 7.81146899419599
x19=−19.8617584058309x_{19} = -19.8617584058309
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x^6)/sin(x)^5.
sin⁡(06)sin⁡5(0)\frac{\sin{\left(0^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x5cos⁡(x6)sin⁡5(x)−5sin⁡(x6)cos⁡(x)sin⁡6(x)=0\frac{6 x^{5} \cos{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} - \frac{5 \sin{\left(x^{6} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{6}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12.0350255542188x_{1} = 12.0350255542188
x2=−3.93041863706242x_{2} = -3.93041863706242
x3=7.41773093079574x_{3} = 7.41773093079574
x4=−1.02266198672565x_{4} = -1.02266198672565
x5=−5.75997625216404x_{5} = -5.75997625216404
x6=2.32672718598941x_{6} = 2.32672718598941
x7=5.99794006850709x_{7} = 5.99794006850709
x8=1.88989548889401x_{8} = 1.88989548889401
x9=−7.74342156528541x_{9} = -7.74342156528541
Signos de extremos en los puntos:
(12.035025554218825, 29.941511203862)

(-3.930418637062421, -5.56105076933491)

(7.417730930795744, 1.63507928070568)

(-1.0226619867256483, -2.00979859607637)

(-5.759976252164039, 32.108232954854)

(2.326727185989408, 4.90239485616758)

(5.997940068507087, -566.806929602898)

(1.8898954888940125, 1.29555168608272)

(-7.743421565285414, 1.03109493547322)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3.93041863706242x_{1} = -3.93041863706242
x2=−1.02266198672565x_{2} = -1.02266198672565
x3=5.99794006850709x_{3} = 5.99794006850709
Puntos máximos de la función:
x3=12.0350255542188x_{3} = 12.0350255542188
x3=7.41773093079574x_{3} = 7.41773093079574
x3=−5.75997625216404x_{3} = -5.75997625216404
x3=2.32672718598941x_{3} = 2.32672718598941
x3=1.88989548889401x_{3} = 1.88989548889401
x3=−7.74342156528541x_{3} = -7.74342156528541
Decrece en los intervalos
[5.99794006850709,∞)\left[5.99794006850709, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3.93041863706242]\left(-\infty, -3.93041863706242\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(sin⁡(x6)sin⁡5(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(sin⁡(x6)sin⁡5(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x^6)/sin(x)^5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡(x6)xsin⁡5(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{x \sin^{5}{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡(x6)xsin⁡5(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{x \sin^{5}{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x6)sin⁡5(x)=−sin⁡(x6)sin⁡5(x)\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}
- No
sin⁡(x6)sin⁡5(x)=sin⁡(x6)sin⁡5(x)\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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