Sr Examen

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Gráfico de la función y = sin(x)*sin(1.5*pi+x)-6*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                 /3*pi    \      
f(x) = sin(x)*sin|---- + x| - 6*x
                 \ 2      /      
f(x)=6x+sin(x)sin(x+3π2)f{\left(x \right)} = - 6 x + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)}
f = -6*x + sin(x)*sin(x + 3*pi/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
6x+sin(x)sin(x+3π2)=0- 6 x + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)*sin(3*pi/2 + x) - 6*x.
sin(0)sin(3π2)0\sin{\left(0 \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi}{2} \right)} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin2(x)+sin(x+3π2)cos(x)6=0\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4sin(x)cos(x)=04 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,π2][0,)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,0][π2,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(6x+sin(x)sin(x+3π2))=\lim_{x \to -\infty}\left(- 6 x + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx(6x+sin(x)sin(x+3π2))=\lim_{x \to \infty}\left(- 6 x + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)*sin(3*pi/2 + x) - 6*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(6x+sin(x)sin(x+3π2)x)=6\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 6 x + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{x}\right) = -6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=6xy = - 6 x
limx(6x+sin(x)sin(x+3π2)x)=6\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 6 x + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{x}\right) = -6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=6xy = - 6 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
6x+sin(x)sin(x+3π2)=6x+sin(x)cos(x)- 6 x + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)} = 6 x + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
6x+sin(x)sin(x+3π2)=6xsin(x)cos(x)- 6 x + \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \frac{3 \pi}{2} \right)} = - 6 x - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar