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Trazado el gráfico de la función/ sin(y)^2+sin(-1)^2

Gráfico de la función y = sin(y)^2+sin(-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2         2    
f(y) = sin (y) + sin (-1)
f(y)=sin⁡2(y)+sin⁡2(−1)f{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)} 
f = sin(y)^2 + sin(-1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(y)+sin⁡2(−1)=0\sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Y
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en sin(y)^2 + sin(-1)^2.
sin⁡2(0)+sin⁡2(−1)\sin^{2}{\left(0 \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡2(1)f{\left(0 \right)} = \sin^{2}{\left(1 \right)}
Punto:
(0, sin(1)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
2sin⁡(y)cos⁡(y)=02 \sin{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=0y_{1} = 0
y2=−π2y_{2} = - \frac{\pi}{2}
y3=π2y_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
       2     
(0, sin (-1))

 -pi          2     
(----, 1 + sin (-1))
  2                 

 pi         2     
(--, 1 + sin (-1))
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
y1=0y_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
y1=−π2y_{1} = - \frac{\pi}{2}
y1=π2y_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
2(−sin⁡2(y)+cos⁡2(y))=02 \left(- \sin^{2}{\left(y \right)} + \cos^{2}{\left(y \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=−π4y_{1} = - \frac{\pi}{4}
y2=π4y_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞(sin⁡2(y)+sin⁡2(−1))=⟨0,1⟩+sin⁡2(1)\lim_{y \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle + \sin^{2}{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩+sin⁡2(1)y = \left\langle 0, 1\right\rangle + \sin^{2}{\left(1 \right)}
lim⁡y→∞(sin⁡2(y)+sin⁡2(−1))=⟨0,1⟩+sin⁡2(1)\lim_{y \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle + \sin^{2}{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩+sin⁡2(1)y = \left\langle 0, 1\right\rangle + \sin^{2}{\left(1 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(y)^2 + sin(-1)^2, dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(sin⁡2(y)+sin⁡2(−1)y)=0\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)}}{y}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡y→∞(sin⁡2(y)+sin⁡2(−1)y)=0\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)}}{y}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(y)+sin⁡2(−1)=sin⁡2(y)+sin⁡2(−1)\sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)} = \sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)}
- Sí
sin⁡2(y)+sin⁡2(−1)=−sin⁡2(y)−sin⁡2(−1)\sin^{2}{\left(y \right)} + \sin^{2}{\left(-1 \right)} = - \sin^{2}{\left(y \right)} - \sin^{2}{\left(-1 \right)}
- No
es decir, función
es
par
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