Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
2*x^2-6*x
-
y=5x
-
y=4^x
-
Expresiones idénticas
- y=(x^ tres -5x)/(tres -x)
- y es igual a (x al cubo menos 5x) dividir por (3 menos x)
- y es igual a (x en el grado tres menos 5x) dividir por (tres menos x)
- y=(x3-5x)/(3-x)
- y=x3-5x/3-x
- y=(x³-5x)/(3-x)
- y=(x en el grado 3-5x)/(3-x)
- y=x^3-5x/3-x
- y=(x^3-5x) dividir por (3-x)
-
Expresiones semejantes
- y=(x^3-5x)/(3+x)
- y=(x^3+5x)/(3-x)
Gráfico de la función y = y=(x^3-5x)/(3-x)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x - 5*x
f(x) = --------
3 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 5 x}{3 - x}$$
f = (x^3 - 5*x)/(3 - x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2.23606797749979$$
$$x_{3} = 2.23606797749979$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2.23606797749979$$
$$x_{3} = 2.23606797749979$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2} - 5}{3 - x} + \frac{x^{3} - 5 x}{\left(3 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{5} i}{2}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{5} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2} - 5}{3 - x} + \frac{x^{3} - 5 x}{\left(3 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{5} i}{2}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{5} i}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
3
/ _________________\ _________________
| / ___ | / ___
| / 81 81*I*\/ 5 | / 81 81*I*\/ 5
| 3 / -- + ---------- | 5*3 / -- + ----------
15 |3 27 \/ 8 2 | \/ 8 2 135
- -- + |- - ------------------------ - ----------------------| + ------------------------ + ------------------------
_________________ 2 |2 _________________ 3 | 3 _________________
/ ___ | / ___ | / ___
/ 81 81*I*\/ 5 | / 81 81*I*\/ 5 | / 81 81*I*\/ 5
3 / -- + ---------- | 4*3 / -- + ---------- | 4*3 / -- + ----------
3 27 \/ 8 2 \ \/ 8 2 / \/ 8 2
(- - ------------------------ - ----------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 _________________ 3 _________________
/ ___ / ___
/ 81 81*I*\/ 5 / 81 81*I*\/ 5
4*3 / -- + ---------- 3 / -- + ----------
\/ 8 2 3 \/ 8 2 27
- + ---------------------- + ------------------------
2 3 _________________
/ ___
/ 81 81*I*\/ 5
4*3 / -- + ----------
\/ 8 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \sqrt[3]{12}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3 - \sqrt[3]{12}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \sqrt[3]{12}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \sqrt[3]{12}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3 - \sqrt[3]{12}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \sqrt[3]{12}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 5*x)/(3 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(3 - x\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(3 - x\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(3 - x\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(3 - x\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = \frac{- x^{3} + 5 x}{x + 3}$$
- No
$$\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = - \frac{- x^{3} + 5 x}{x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = \frac{- x^{3} + 5 x}{x + 3}$$
- No
$$\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = - \frac{- x^{3} + 5 x}{x + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico