Sr Examen

Otras calculadoras

y=(x^3-5x)/(3-x)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • e^3*x+10*e^2*x e^3*x+10*e^2*x
  • -cos(2*x)-sin(2*x) -cos(2*x)-sin(2*x)
  • 6/(x^2+3) 6/(x^2+3)
  • -x^2+4*x -x^2+4*x

  • Expresiones idénticas

  • y=(x^ tres -5x)/(tres -x)
  • y es igual a (x al cubo menos 5x) dividir por (3 menos x)
  • y es igual a (x en el grado tres menos 5x) dividir por (tres menos x)
  • y=(x3-5x)/(3-x)
  • y=x3-5x/3-x
  • y=(x³-5x)/(3-x)
  • y=(x en el grado 3-5x)/(3-x)
  • y=x^3-5x/3-x
  • y=(x^3-5x) dividir por (3-x)

  • Expresiones semejantes

  • y=(x^3-5x)/(3+x)
  • y=(x^3+5x)/(3-x)
Trazado el gráfico de la función/ y=(x^3-5x)/(3-x)

Gráfico de la función y = y=(x^3-5x)/(3-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      
       x  - 5*x
f(x) = --------
        3 - x
f(x)=x3−5x3−xf{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} 
f = (x^3 - 5*x)/(3 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3−5x3−x=0\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−5x_{2} = - \sqrt{5}
x3=5x_{3} = \sqrt{5}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2.23606797749979x_{2} = -2.23606797749979
x3=2.23606797749979x_{3} = 2.23606797749979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 - 5*x)/(3 - x).
03−03−0\frac{0^{3} - 0}{3 - 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−53−x+x3−5x(3−x)2=0\frac{3 x^{2} - 5}{3 - x} + \frac{x^{3} - 5 x}{\left(3 - x\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32−818+815i233−274818+815i23x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{5} i}{2}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{5} i}{2}}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                      3                                                       
                                                               /                                    _________________\           _________________                            
                                                               |                                   /             ___ |          /             ___                             
                                                               |                                  /  81   81*I*\/ 5  |         /  81   81*I*\/ 5                              
                                                               |                               3 /   -- + ---------- |    5*3 /   -- + ----------                             
                                                          15   |3              27              \/    8        2      |      \/    8        2                   135            
                                                        - -- + |- - ------------------------ - ----------------------|  + ------------------------ + ------------------------ 
                                     _________________    2    |2          _________________             3           |               3                      _________________ 
                                    /             ___          |          /             ___                          |                                     /             ___  
                                   /  81   81*I*\/ 5           |         /  81   81*I*\/ 5                           |                                    /  81   81*I*\/ 5   
                                3 /   -- + ----------          |    4*3 /   -- + ----------                          |                               4*3 /   -- + ----------  
 3              27              \/    8        2               \      \/    8        2                               /                                 \/    8        2       
(- - ------------------------ - ----------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 2          _________________             3                                                      _________________                                                            
           /             ___                                                                    /             ___                                                             
          /  81   81*I*\/ 5                                                                    /  81   81*I*\/ 5                                                              
     4*3 /   -- + ----------                                                                3 /   -- + ----------                                                             
       \/    8        2                                                                 3   \/    8        2                    27                                            
                                                                                        - + ---------------------- + ------------------------                                 
                                                                                        2             3                     _________________                                 
                                                                                                                           /             ___                                  
                                                                                                                          /  81   81*I*\/ 5                                   
                                                                                                                     4*3 /   -- + ----------                                  
                                                                                                                       \/    8        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=32−3cos⁡(atan⁡(45)3)x_{1} = \frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,32−3cos⁡(atan⁡(45)3)]\left(-\infty, \frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[32−3cos⁡(atan⁡(45)3),∞)\left[\frac{3}{2} - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−3x−x(x2−5)(x−3)2+3x2−5x−3)x−3=0\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3−123x_{1} = 3 - \sqrt[3]{12}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=3x_{1} = 3

lim⁡x→3−(2(−3x−x(x2−5)(x−3)2+3x2−5x−3)x−3)=∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = \infty
lim⁡x→3+(2(−3x−x(x2−5)(x−3)2+3x2−5x−3)x−3)=−∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x - \frac{x \left(x^{2} - 5\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 5}{x - 3}\right)}{x - 3}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=3x_{1} = 3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3−123,∞)\left[3 - \sqrt[3]{12}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3−123]\left(-\infty, 3 - \sqrt[3]{12}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3−5x3−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3−5x3−x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 5*x)/(3 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3−5xx(3−x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(3 - x\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x3−5xx(3−x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 5 x}{x \left(3 - x\right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3−5x3−x=−x3+5xx+3\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = \frac{- x^{3} + 5 x}{x + 3}
- No
x3−5x3−x=−−x3+5xx+3\frac{x^{3} - 5 x}{3 - x} = - \frac{- x^{3} + 5 x}{x + 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x^3-5x)/(3-x)
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