Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1+((3+2*x)/(7+5*x))^x

Gráfico de la función y = 1+((3+2*x)/(7+5*x))^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    x
           /3 + 2*x\ 
f(x) = 1 + |-------| 
           \7 + 5*x/
f(x)=(2x+35x+7)x+1f{\left(x \right)} = \left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} + 1 
f = ((2*x + 3)/(5*x + 7))^x + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1.4x_{1} = -1.4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2x+35x+7)x+1=0\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 + ((3 + 2*x)/(7 + 5*x))^x.
1+(0⋅2+30⋅5+7)01 + \left(\frac{0 \cdot 2 + 3}{0 \cdot 5 + 7}\right)^{0}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x+35x+7)x(x(5x+7)(−5(2x+3)(5x+7)2+25x+7)2x+3+log⁡(2x+35x+7))=0\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} \left(\frac{x \left(5 x + 7\right) \left(- \frac{5 \left(2 x + 3\right)}{\left(5 x + 7\right)^{2}} + \frac{2}{5 x + 7}\right)}{2 x + 3} + \log{\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7} \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=109.102141534576x_{1} = 109.102141534576
x2=37.1087290700992x_{2} = 37.1087290700992
x3=85.1024432893594x_{3} = 85.1024432893594
x4=97.1022600864649x_{4} = 97.1022600864649
x5=71.1028197593887x_{5} = 71.1028197593887
x6=77.1026275841769x_{6} = 77.1026275841769
x7=89.1023724224524x_{7} = 89.1023724224524
x8=87.1024064041839x_{8} = 87.1024064041839
x9=79.1025750721714x_{9} = 79.1025750721714
x10=65.1030842857598x_{10} = 65.1030842857598
x11=91.1023410453493x_{11} = 91.1023410453493
x12=49.1046017931833x_{12} = 49.1046017931833
x13=39.1075519741403x_{13} = 39.1075519741403
x14=35.1103393597195x_{14} = 35.1103393597195
x15=119.102071995832x_{15} = 119.102071995832
x16=47.1049694362563x_{16} = 47.1049694362563
x17=43.1059677107542x_{17} = 43.1059677107542
x18=83.1024834212672x_{18} = 83.1024834212672
x19=111.102125903823x_{19} = 111.102125903823
x20=107.102158176818x_{20} = 107.102158176818
x21=75.1026853568851x_{21} = 75.1026853568851
x22=53.1040367710319x_{22} = 53.1040367710319
x23=121.10206035785x_{23} = 121.10206035785
x24=105.102175920182x_{24} = 105.102175920182
x25=81.1025271959209x_{25} = 81.1025271959209
x26=61.1033205380394x_{26} = 61.1033205380394
x27=41.1066609534818x_{27} = 41.1066609534818
x28=31.1161683892147x_{28} = 31.1161683892147
x29=113.102111203901x_{29} = 113.102111203901
x30=103.102194864502x_{30} = 103.102194864502
x31=69.1028982941325x_{31} = 69.1028982941325
x32=99.1022368152189x_{32} = 99.1022368152189
x33=67.1029859703397x_{33} = 67.1029859703397
x34=45.1054162434891x_{34} = 45.1054162434891
x35=123.102049349476x_{35} = 123.102049349476
x36=57.1036273661864x_{36} = 57.1036273661864
x37=51.1042952701951x_{37} = 51.1042952701951
x38=95.102285092648x_{38} = 95.102285092648
x39=−1.85149865012209x_{39} = -1.85149865012209
x40=63.1031950627835x_{40} = 63.1031950627835
x41=101.102215121253x_{41} = 101.102215121253
x42=73.1027491253988x_{42} = 73.1027491253988
x43=59.1034634826815x_{43} = 59.1034634826815
x44=33.1126461424691x_{44} = 33.1126461424691
x45=117.102084312556x_{45} = 117.102084312556
x46=55.1038165829182x_{46} = 55.1038165829182
x47=93.1023120117544x_{47} = 93.1023120117544
x48=115.102097362062x_{48} = 115.102097362062
Signos de extremos en los puntos:
(109.10214153457576, 1)

(37.108729070099194, 1)

(85.10244328935941, 1)

(97.10226008646494, 1)

(71.10281975938872, 1)

(77.10262758417689, 1)

(89.10237242245245, 1)

(87.10240640418388, 1)

(79.10257507217143, 1)

(65.10308428575979, 1)

(91.10234104534928, 1)

(49.10460179318331, 1)

(39.10755197414032, 1)

(35.11033935971951, 1.00000000000001)

(119.102071995832, 1)

(47.10496943625628, 1)

(43.105967710754214, 1)

(83.10248342126724, 1)

(111.10212590382288, 1)

(107.1021581768182, 1)

(75.10268535688509, 1)

(53.10403677103191, 1)

(121.10206035784972, 1)

(105.1021759201819, 1)

(81.1025271959209, 1)

(61.10332053803937, 1)

(41.10666095348184, 1)

(31.116168389214693, 1.00000000000046)

(113.10211120390053, 1)

(103.10219486450247, 1)

(69.1028982941325, 1)

(99.1022368152189, 1)

(67.10298597033967, 1)

(45.105416243489145, 1)

(123.10204934947583, 1)

(57.10362736618636, 1)

(51.10429527019514, 1)

(95.10228509264799, 1)

(-1.8514986501220936, 9.6716953391525)

(63.10319506278352, 1)

(101.10221512125284, 1)

(73.10274912539876, 1)

(59.10346348268153, 1)

(33.11264614246911, 1.00000000000007)

(117.1020843125559, 1)

(55.103816582918164, 1)

(93.1023120117544, 1)

(115.10209736206195, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1.85149865012209x_{1} = -1.85149865012209
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1.85149865012209,∞)\left[-1.85149865012209, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1.85149865012209]\left(-\infty, -1.85149865012209\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1.4x_{1} = -1.4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2x+35x+7)x+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((2x+35x+7)x+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} + 1\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + ((3 + 2*x)/(7 + 5*x))^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2x+35x+7)x+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((2x+35x+7)x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2x+35x+7)x+1=1+(3−2x7−5x)−x\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} + 1 = 1 + \left(\frac{3 - 2 x}{7 - 5 x}\right)^{- x}
- No
(2x+35x+7)x+1=−1−(3−2x7−5x)−x\left(\frac{2 x + 3}{5 x + 7}\right)^{x} + 1 = -1 - \left(\frac{3 - 2 x}{7 - 5 x}\right)^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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