Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^3+3*x^2+2 x^3+3*x^2+2
  • -sqrt(3*x+1) -sqrt(3*x+1)
  • -sqrt(1-x^2) -sqrt(1-x^2)
  • x^2/(4-x^2) x^2/(4-x^2)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ tres)/ dos (x- uno)^ dos
  • (x al cubo ) dividir por 2(x menos 1) al cuadrado
  • (x en el grado tres) dividir por dos (x menos uno) en el grado dos
  • (x3)/2(x-1)2
  • x3/2x-12
  • (x³)/2(x-1)²
  • (x en el grado 3)/2(x-1) en el grado 2
  • x^3/2x-1^2
  • (x^3) dividir por 2(x-1)^2

  • Expresiones semejantes

  • (x^3)/2(x+1)^2
Trazado el gráfico de la función/ (x^3)/2(x-1)^2

Gráfico de la función y = (x^3)/2(x-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3         
       x         2
f(x) = --*(x - 1) 
       2
f(x)=x32(x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{2} \left(x - 1\right)^{2} 
f = (x^3/2)*(x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x32(x−1)2=0\frac{x^{3}}{2} \left(x - 1\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3/2)*(x - 1)^2.
(−1)2032\left(-1\right)^{2} \frac{0^{3}}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3(2x−2)2+3x2(x−1)22=0\frac{x^{3} \left(2 x - 2\right)}{2} + \frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=35x_{2} = \frac{3}{5}
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

       54  
(3/5, ----)
      3125 

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=35x_{1} = \frac{3}{5}
Decrece en los intervalos
(−∞,35]∪[1,∞)\left(-\infty, \frac{3}{5}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[35,1]\left[\frac{3}{5}, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(x2+6x(x−1)+3(x−1)2)=0x \left(x^{2} + 6 x \left(x - 1\right) + 3 \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=35−610x_{2} = \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}
x3=610+35x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{3}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,35−610]∪[610+35,∞)\left[0, \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{3}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[35−610,610+35]\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}, \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{3}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x32(x−1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x32(x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3/2)*(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2(x−1)22)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2(x−1)22)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x32(x−1)2=−x3(−x−1)22\frac{x^{3}}{2} \left(x - 1\right)^{2} = - \frac{x^{3} \left(- x - 1\right)^{2}}{2}
- No
x32(x−1)2=x3(−x−1)22\frac{x^{3}}{2} \left(x - 1\right)^{2} = \frac{x^{3} \left(- x - 1\right)^{2}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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