Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+4)/e^(x+4)
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres)/ dos (x+ uno)^ dos
- (x al cubo ) dividir por 2(x más 1) al cuadrado
- (x en el grado tres) dividir por dos (x más uno) en el grado dos
- (x3)/2(x+1)2
- x3/2x+12
- (x³)/2(x+1)²
- (x en el grado 3)/2(x+1) en el grado 2
- x^3/2x+1^2
- (x^3) dividir por 2(x+1)^2
-
Expresiones semejantes
- (x^3)/2(x-1)^2
Gráfico de la función y = (x^3)/2(x+1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
3
x 2
f(x) = --*(x + 1)
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2}$$
f = (x^3/2)*(x + 1)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(2 x + 2\right)}{2} + \frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{3}{5}$$
$$x_{3} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[- \frac{3}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, - \frac{3}{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{3} \left(2 x + 2\right)}{2} + \frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{3}{5}$$
$$x_{3} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)
-54
(-3/5, ----)
3125 (0, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[- \frac{3}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, - \frac{3}{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x \left(x^{2} + 6 x \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}, - \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}\right] \cup \left[- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x \left(x^{2} + 6 x \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}, - \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}\right] \cup \left[- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3/2)*(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2} = - \frac{x^{3} \left(1 - x\right)^{2}}{2}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2} = \frac{x^{3} \left(1 - x\right)^{2}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2} = - \frac{x^{3} \left(1 - x\right)^{2}}{2}$$
- No
$$\frac{x^{3}}{2} \left(x + 1\right)^{2} = \frac{x^{3} \left(1 - x\right)^{2}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico