Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro -7x^ dos + doce
- x en el grado 4 menos 7x al cuadrado más 12
- x en el grado cuatro menos 7x en el grado dos más doce
- x4-7x2+12
- x⁴-7x²+12
- x en el grado 4-7x en el grado 2+12
-
Expresiones semejantes
- x^4+7x^2+12
- x^4-7x^2-12
Gráfico de la función y = x^4-7x^2+12
Solución
Ha introducido
[src]
4 2 f(x) = x - 7*x + 12
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12$$
f = x^4 - 7*x^2 + 12
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{4} = \sqrt{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1.73205080756888$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 1.73205080756888$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{4} = \sqrt{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1.73205080756888$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 1.73205080756888$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 14 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{14}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{14}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{14}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{14}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 14 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 12)
____
-\/ 14
(--------, -1/4)
2 ____ \/ 14 (------, -1/4) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{14}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{14}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{14}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{14}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{14}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(6 x^{2} - 7\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{42}}{6}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{42}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{42}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{42}}{6}, \frac{\sqrt{42}}{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(6 x^{2} - 7\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{42}}{6}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{42}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{42}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{42}}{6}, \frac{\sqrt{42}}{6}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 7*x^2 + 12, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12 = \left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12$$
- Sí
$$\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12 = \left(- x^{4} + 7 x^{2}\right) - 12$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12 = \left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12$$
- Sí
$$\left(x^{4} - 7 x^{2}\right) + 12 = \left(- x^{4} + 7 x^{2}\right) - 12$$
- No
es decir, función
es
par