Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
- Integral de d{x}:
- x^2/(x^2+4)^2
-
Expresiones idénticas
- x^ dos /(x^ dos + cuatro)^ dos
- x al cuadrado dividir por (x al cuadrado más 4) al cuadrado
- x en el grado dos dividir por (x en el grado dos más cuatro) en el grado dos
- x2/(x2+4)2
- x2/x2+42
- x²/(x²+4)²
- x en el grado 2/(x en el grado 2+4) en el grado 2
- x^2/x^2+4^2
- x^2 dividir por (x^2+4)^2
-
Expresiones semejantes
- x^2/(x^2-4)^2
Gráfico de la función y = x^2/(x^2+4)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
x
f(x) = ---------
2
/ 2 \
\x + 4/
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}$$
f = x^2/(x^2 + 4)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} + 4\right)^{3}} + \frac{2 x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} + 4\right)^{3}} + \frac{2 x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 1/16)
(0, 0)
(2, 1/16)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{2 x^{2} \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)}{x^{2} + 4} - \frac{8 x^{2}}{x^{2} + 4} + 1\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}$$
$$x_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}\right] \cup \left[2 \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}, 2 \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{2 x^{2} \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)}{x^{2} + 4} - \frac{8 x^{2}}{x^{2} + 4} + 1\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}$$
$$x_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}\right] \cup \left[2 \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}, 2 \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/(x^2 + 4)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}$$
- Sí
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = - \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}$$
- Sí
$$\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = - \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par