Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3cos7x-11sin2x

Gráfico de la función y = 3cos7x-11sin2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*cos(7*x) - 11*sin(2*x)
f(x)=−11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x)f{\left(x \right)} = - 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)} 
f = -11*sin(2*x) + 3*cos(7*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x)=0- 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=48.6946861306418x_{1} = 48.6946861306418
x2=−87.8614973981591x_{2} = -87.8614973981591
x3=−98.9601685880785x_{3} = -98.9601685880785
x4=62.934949974151x_{4} = 62.934949974151
x5=−94.1446827053386x_{5} = -94.1446827053386
x6=−14.1371669411541x_{6} = -14.1371669411541
x7=−15.8110601703041x_{7} = -15.8110601703041
x8=78.4367194373897x_{8} = 78.4367194373897
x9=−1.5707963267949x_{9} = -1.5707963267949
x10=−34.6606160918429x_{10} = -34.6606160918429
x11=23.5619449019235x_{11} = 23.5619449019235
x12=−246.615023306799x_{12} = -246.615023306799
x13=94.3508765100489x_{13} = 94.3508765100489
x14=73.8274273593601x_{14} = 73.8274273593601
x15=−9.52787486312453x_{15} = -9.52787486312453
x16=4.71238898038469x_{16} = 4.71238898038469
x17=−20.4203522483337x_{17} = -20.4203522483337
x18=−26.7035375555132x_{18} = -26.7035375555132
x19=34.4544222871326x_{19} = 34.4544222871326
x20=−95.8185759344887x_{20} = -95.8185759344887
x21=−78.6429132421x_{21} = -78.6429132421
x22=−66.0765426277408x_{22} = -66.0765426277408
x23=−53.5101720133816x_{23} = -53.5101720133816
x24=−92.6769832808989x_{24} = -92.6769832808989
x25=10.9955742875643x_{25} = 10.9955742875643
x26=−31.3128296335428x_{26} = -31.3128296335428
x27=−84.9260985492796x_{27} = -84.9260985492796
x28=−28.3774307846633x_{28} = -28.3774307846633
x29=67.5442420521806x_{29} = 67.5442420521806
x30=36.1283155162826x_{30} = 36.1283155162826
x31=58.1194640914112x_{31} = 58.1194640914112
x32=−29.845130209103x_{32} = -29.845130209103
x33=100.634061817229x_{33} = 100.634061817229
x34=6.38628220953474x_{34} = 6.38628220953474
x35=3.03849575123464x_{35} = 3.03849575123464
x36=7.85398163397448x_{36} = 7.85398163397448
x37=−43.879200247902x_{37} = -43.879200247902
x38=−50.1623855550815x_{38} = -50.1623855550815
x39=51.8362787842316x_{39} = 51.8362787842316
x40=80.1106126665397x_{40} = 80.1106126665397
x41=37.8022087454327x_{41} = 37.8022087454327
x42=15.6048663655938x_{42} = 15.6048663655938
x43=50.3685793597918x_{43} = 50.3685793597918
x44=18.9526528238939x_{44} = 18.9526528238939
x45=0.103096902355152x_{45} = 0.103096902355152
x46=14.1371669411541x_{46} = 14.1371669411541
x47=9.32168105841423x_{47} = 9.32168105841423
x48=126695.719330296x_{48} = 126695.719330296
x49=−40.9438013990225x_{49} = -40.9438013990225
x50=42.4115008234622x_{50} = 42.4115008234622
x51=−59.7933573205612x_{51} = -59.7933573205612
x52=72.1535341302101x_{52} = 72.1535341302101
x53=28.171236979953x_{53} = 28.171236979953
x54=−45.553093477052x_{54} = -45.553093477052
x55=−97.4924691636387x_{55} = -97.4924691636387
x56=−58.1194640914112x_{56} = -58.1194640914112
x57=149.225651045515x_{57} = 149.225651045515
x58=44.0853940526123x_{58} = 44.0853940526123
x59=53.3039782086713x_{59} = 53.3039782086713
x60=−6.18008840482443x_{60} = -6.18008840482443
x61=81.7845058956898x_{61} = 81.7845058956898
x62=−83.2522053201295x_{62} = -83.2522053201295
x63=−69.0119414766203x_{63} = -69.0119414766203
x64=−56.4455708622611x_{64} = -56.4455708622611
x65=−22.0942454774837x_{65} = -22.0942454774837
x66=97.2862753589284x_{66} = 97.2862753589284
x67=−39.2699081698724x_{67} = -39.2699081698724
x68=88.0676912028694x_{68} = 88.0676912028694
x69=−72.3597279349204x_{69} = -72.3597279349204
x70=2159.84494934298x_{70} = 2159.84494934298
x71=−36.1283155162826x_{71} = -36.1283155162826
x72=−64.4026493985908x_{72} = -64.4026493985908
x73=92.6769832808989x_{73} = 92.6769832808989
x74=−51.8362787842316x_{74} = -51.8362787842316
x75=12.6694675167143x_{75} = 12.6694675167143
x76=65.8703488230305x_{76} = 65.8703488230305
x77=−89.5353906273091x_{77} = -89.5353906273091
x78=−73.8274273593601x_{78} = -73.8274273593601
x79=21.8880516727734x_{79} = 21.8880516727734
x80=29.845130209103x_{80} = 29.845130209103
x81=86.3937979737193x_{81} = 86.3937979737193
x82=64.4026493985908x_{82} = 64.4026493985908
x83=59.5871635158509x_{83} = 59.5871635158509
x84=56.6517646669714x_{84} = 56.6517646669714
x85=−25.0296443263632x_{85} = -25.0296443263632
x86=−10.9955742875643x_{86} = -10.9955742875643
x87=−80.1106126665397x_{87} = -80.1106126665397
x88=−7.85398163397448x_{88} = -7.85398163397448
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(7*x) - 11*sin(2*x).
−11sin⁡(0⋅2)+3cos⁡(0⋅7)- 11 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + 3 \cos{\left(0 \cdot 7 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−21sin⁡(7x)−22cos⁡(2x)=0- 21 \sin{\left(7 x \right)} - 22 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
44sin⁡(2x)−147cos⁡(7x)=044 \sin{\left(2 x \right)} - 147 \cos{\left(7 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x))=⟨−14,14⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)}\right) = \left\langle -14, 14\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−14,14⟩y = \left\langle -14, 14\right\rangle
lim⁡x→∞(−11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x))=⟨−14,14⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)}\right) = \left\langle -14, 14\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−14,14⟩y = \left\langle -14, 14\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(7*x) - 11*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x)=11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x)- 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)} = 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)}
- No
−11sin⁡(2x)+3cos⁡(7x)=−11sin⁡(2x)−3cos⁡(7x)- 11 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(7 x \right)} = - 11 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(7 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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