Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
- Integral de d{x}:
- y/(y^2-1)
-
Expresiones idénticas
- y/(y^ dos - uno)
- y dividir por (y al cuadrado menos 1)
- y dividir por (y en el grado dos menos uno)
- y/(y2-1)
- y/y2-1
- y/(y²-1)
- y/(y en el grado 2-1)
- y/y^2-1
- y dividir por (y^2-1)
-
Expresiones semejantes
- y/(y^2+1)
Gráfico de la función y = y/(y^2-1)
Solución
Ha introducido
[src]
y
f(y) = ------
2
y - 1
$$f{\left(y \right)} = \frac{y}{y^{2} - 1}$$
f = y/(y^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{y}{y^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{y}{y^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 y^{2}}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{y^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 y^{2}}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{y^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$
$$\lim_{y \to -1^-}\left(\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{y \to -1^+}\left(\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{y \to 1^-}\left(\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{y \to 1^+}\left(\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$
$$\lim_{y \to -1^-}\left(\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{y \to -1^+}\left(\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{y \to 1^-}\left(\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{y \to 1^+}\left(\frac{2 y \left(\frac{4 y^{2}}{y^{2} - 1} - 3\right)}{\left(y^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{y}{y^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{y}{y^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{y}{y^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{y}{y^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función y/(y^2 - 1), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \frac{1}{y^{2} - 1} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty} \frac{1}{y^{2} - 1} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to -\infty} \frac{1}{y^{2} - 1} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty} \frac{1}{y^{2} - 1} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$\frac{y}{y^{2} - 1} = - \frac{y}{y^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{y}{y^{2} - 1} = \frac{y}{y^{2} - 1}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{y}{y^{2} - 1} = - \frac{y}{y^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{y}{y^{2} - 1} = \frac{y}{y^{2} - 1}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico