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Trazado el gráfico de la función/ x^3-9x^2+15x+3

Gráfico de la función y = x^3-9x^2+15x+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2           
f(x) = x  - 9*x  + 15*x + 3
f(x)=(15x+(x3−9x2))+3f{\left(x \right)} = \left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) + 3 
f = 15*x + x^3 - 9*x^2 + 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(15x+(x3−9x2))+3=0\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3+43+55i3+3+55i3x_{1} = 3 + \frac{4}{\sqrt[3]{3 + \sqrt{55} i}} + \sqrt[3]{3 + \sqrt{55} i}
Solución numérica
x1=6.69126777680543x_{1} = 6.69126777680543
x2=2.48887225618353x_{2} = 2.48887225618353
x3=−0.180140032988958x_{3} = -0.180140032988958
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 9*x^2 + 15*x + 3.
((03−9⋅02)+0⋅15)+3\left(\left(0^{3} - 9 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 15\right) + 3
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−18x+15=03 x^{2} - 18 x + 15 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=5x_{2} = 5
Signos de extremos en los puntos:
(1, 10)

(5, -22)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5x_{1} = 5
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[5,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[5, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,5]\left[1, 5\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−3)=06 \left(x - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((15x+(x3−9x2))+3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) + 3\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((15x+(x3−9x2))+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) + 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 9*x^2 + 15*x + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((15x+(x3−9x2))+3x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) + 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((15x+(x3−9x2))+3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) + 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(15x+(x3−9x2))+3=−x3−9x2−15x+3\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) + 3 = - x^{3} - 9 x^{2} - 15 x + 3
- No
(15x+(x3−9x2))+3=x3+9x2+15x−3\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) + 3 = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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