Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- ((x- dos)(x+ uno))/((x- tres)(x- uno))
- ((x menos 2)(x más 1)) dividir por ((x menos 3)(x menos 1))
- ((x menos dos)(x más uno)) dividir por ((x menos tres)(x menos uno))
- x-2x+1/x-3x-1
- ((x-2)(x+1)) dividir por ((x-3)(x-1))
-
Expresiones semejantes
- ((x-2)(x+1))/((x-3)(x+1))
- ((x-2)(x+1))/((x+3)(x-1))
- ((x+2)(x+1))/((x-3)(x-1))
- ((x-2)(x-1))/((x-3)(x-1))
Gráfico de la función y = ((x-2)(x+1))/((x-3)(x-1))
Solución
Ha introducido
[src]
(x - 2)*(x + 1)
f(x) = ---------------
(x - 3)*(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}$$
f = ((x - 2)*(x + 1))/(((x - 3)*(x - 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(2 x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(2 x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)*(x + 1))/(((x - 3)*(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar