Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x-2)(x+1))/((x-3)(x-1))

Gráfico de la función y = ((x-2)(x+1))/((x-3)(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (x - 2)*(x + 1)
f(x) = ---------------
       (x - 3)*(x - 1)
f(x)=(x−2)(x+1)(x−3)(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} 
f = ((x - 2)*(x + 1))/(((x - 3)*(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−2)(x+1)(x−3)(x−1)=0\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 2)*(x + 1))/(((x - 3)*(x - 1))).
−2(−1)(−1)3- \frac{2}{\left(-1\right) \left(-1\right) 3}
Resultado:
f(0)=−23f{\left(0 \right)} = - \frac{2}{3}
Punto:
(0, -2/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4−2x)(x−2)(x+1)(x−3)2(x−1)2+1(x−3)(x−1)(2x−1)=0\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(2 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1+(x−2)(x+1)((x−2)(1x−1+1x−3)+x−2x−1−1+x−2x−3)(x−3)(x−1)−2(x−2)(2x−1)(x−3)(x−1))(x−3)(x−1)=0\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2233+2⋅2233+53x_{1} = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3

lim⁡x→1−(2(1+(x−2)(x+1)((x−2)(1x−1+1x−3)+x−2x−1−1+x−2x−3)(x−3)(x−1)−2(x−2)(2x−1)(x−3)(x−1))(x−3)(x−1))=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(1+(x−2)(x+1)((x−2)(1x−1+1x−3)+x−2x−1−1+x−2x−3)(x−3)(x−1)−2(x−2)(2x−1)(x−3)(x−1))(x−3)(x−1))=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión
lim⁡x→3−(2(1+(x−2)(x+1)((x−2)(1x−1+1x−3)+x−2x−1−1+x−2x−3)(x−3)(x−1)−2(x−2)(2x−1)(x−3)(x−1))(x−3)(x−1))=−∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = -\infty
lim⁡x→3+(2(1+(x−2)(x+1)((x−2)(1x−1+1x−3)+x−2x−1−1+x−2x−3)(x−3)(x−1)−2(x−2)(2x−1)(x−3)(x−1))(x−3)(x−1))=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right) \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=3x_{2} = 3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2233+2⋅2233+53]\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[−2233+2⋅2233+53,∞)\left[- \frac{2 \sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)(x+1)(x−3)(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((x−2)(x+1)(x−3)(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)*(x + 1))/(((x - 3)*(x - 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−3)(x−1)(x−2)(x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−3)(x−1)(x−2)(x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−2)(x+1)(x−3)(x−1)=(1−x)(−x−2)(−x−3)(−x−1)\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}
- No
(x−2)(x+1)(x−3)(x−1)=−(1−x)(−x−2)(−x−3)(−x−1)\frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 2\right)}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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