Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{2 \left(3 x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} - 6\right)}{- x^{2} + x + 2} - \frac{\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1}{x - 5}}{x - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} - \frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + \frac{648}{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}} + 96}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} - \frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + \frac{648}{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}} + 96}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}}{2} + 5$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{2 \left(3 x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} - 6\right)}{- x^{2} + x + 2} - \frac{\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1}{x - 5}}{x - 5}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{2 \left(3 x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} - 6\right)}{- x^{2} + x + 2} - \frac{\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1}{x - 5}}{x - 5}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{2 \left(3 x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} - 6\right)}{- x^{2} + x + 2} - \frac{\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1}{x - 5}}{x - 5}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{2 \left(3 x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} - 6\right)}{- x^{2} + x + 2} - \frac{\frac{\left(x - 5\right) \left(2 x - 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + 1}{x - 5}}{x - 5}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} - \frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + \frac{648}{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}} + 96}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}}{2} + 5\right] \cup \left[\frac{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} - \frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + \frac{648}{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}} + 96}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} - \frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + \frac{648}{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}} + 96}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}}{2} + 5, \frac{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}}{2} + 5 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} - \frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + \frac{648}{\sqrt{\frac{72}{\sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945}} + 2 \sqrt[3]{81 \sqrt{129} + 945} + 48}} + 96}}{2}\right]$$