Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- ln((cosx)^ dos /sinx)
- ln(( coseno de x) al cuadrado dividir por seno de x)
- ln(( coseno de x) en el grado dos dividir por seno de x)
- ln((cosx)2/sinx)
- lncosx2/sinx
- ln((cosx)²/sinx)
- ln((cosx) en el grado 2/sinx)
- lncosx^2/sinx
- ln((cosx)^2 dividir por sinx)
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln(e^x+2)
- ln(3-2x-x)^2
- ln(x)x^3
- ln(exp(-x/9)+800*exp(-x/1.6)+2exp(-x/1.5)+5xexp(-x/1.5)+12exp(-x/3))
- ln(x²-8x)
Gráfico de la función y = ln((cosx)^2/sinx)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|cos (x)|
f(x) = log|-------|
\ sin(x)/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
f = log(cos(x)^2/sin(x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{\left(- i + \sqrt{5} i\right)^{2} + 4}}{2} - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{\left(- i + \sqrt{5} i\right)^{2} + 4}}{2} - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -30.7496871034054$$
$$x_{2} = -49.5992430249442$$
$$x_{3} = -5.61694587468707$$
$$x_{4} = 19.5157953540313$$
$$x_{5} = -16.3742027004415$$
$$x_{6} = 88.6308337330067$$
$$x_{7} = 69.781277811468$$
$$x_{8} = -35.2237586219802$$
$$x_{9} = 2.47535322109728$$
$$x_{10} = -10.0910173932619$$
$$x_{11} = -99.8647254823809$$
$$x_{12} = -43.3160577177646$$
$$x_{13} = 8.75853852827686$$
$$x_{14} = 71.5903916000727$$
$$x_{15} = 76.0644631186476$$
$$x_{16} = 40.1744650641748$$
$$x_{17} = 63.4980925042884$$
$$x_{18} = -55.8824283321238$$
$$x_{19} = -93.5815401752013$$
$$x_{20} = -60.3564998506986$$
$$x_{21} = -79.2060557722373$$
$$x_{22} = -41.5069439291598$$
$$x_{23} = 44.6485365827496$$
$$x_{24} = 96.7231328287911$$
$$x_{25} = 25.7989806612109$$
$$x_{26} = -11.9001311818667$$
$$x_{27} = -54.073314543519$$
$$x_{28} = -3.80783208608231$$
$$x_{29} = -91.7724263865965$$
$$x_{30} = -74.7319842536625$$
$$x_{31} = 46.4576503713544$$
$$x_{32} = -47.7901292363394$$
$$x_{33} = 90.4399475216115$$
$$x_{34} = -68.4487989464829$$
$$x_{35} = 27.6080944498156$$
$$x_{36} = 52.740835678534$$
$$x_{37} = 38.36535127557$$
$$x_{38} = -85.4892410794169$$
$$x_{39} = 77.8735769072523$$
$$x_{40} = 32.0821659683904$$
$$x_{41} = -24.4665017962258$$
$$x_{42} = 84.1567622144319$$
$$x_{43} = -62.1656136393034$$
$$x_{44} = -98.0556116937761$$
$$x_{45} = 33.8912797569952$$
$$x_{46} = 82.3476484258271$$
$$x_{47} = -87.2983548680217$$
$$x_{48} = -18.1833164890462$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{\left(- i + \sqrt{5} i\right)^{2} + 4}}{2} - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{\left(- i + \sqrt{5} i\right)^{2} + 4}}{2} - \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -30.7496871034054$$
$$x_{2} = -49.5992430249442$$
$$x_{3} = -5.61694587468707$$
$$x_{4} = 19.5157953540313$$
$$x_{5} = -16.3742027004415$$
$$x_{6} = 88.6308337330067$$
$$x_{7} = 69.781277811468$$
$$x_{8} = -35.2237586219802$$
$$x_{9} = 2.47535322109728$$
$$x_{10} = -10.0910173932619$$
$$x_{11} = -99.8647254823809$$
$$x_{12} = -43.3160577177646$$
$$x_{13} = 8.75853852827686$$
$$x_{14} = 71.5903916000727$$
$$x_{15} = 76.0644631186476$$
$$x_{16} = 40.1744650641748$$
$$x_{17} = 63.4980925042884$$
$$x_{18} = -55.8824283321238$$
$$x_{19} = -93.5815401752013$$
$$x_{20} = -60.3564998506986$$
$$x_{21} = -79.2060557722373$$
$$x_{22} = -41.5069439291598$$
$$x_{23} = 44.6485365827496$$
$$x_{24} = 96.7231328287911$$
$$x_{25} = 25.7989806612109$$
$$x_{26} = -11.9001311818667$$
$$x_{27} = -54.073314543519$$
$$x_{28} = -3.80783208608231$$
$$x_{29} = -91.7724263865965$$
$$x_{30} = -74.7319842536625$$
$$x_{31} = 46.4576503713544$$
$$x_{32} = -47.7901292363394$$
$$x_{33} = 90.4399475216115$$
$$x_{34} = -68.4487989464829$$
$$x_{35} = 27.6080944498156$$
$$x_{36} = 52.740835678534$$
$$x_{37} = 38.36535127557$$
$$x_{38} = -85.4892410794169$$
$$x_{39} = 77.8735769072523$$
$$x_{40} = 32.0821659683904$$
$$x_{41} = -24.4665017962258$$
$$x_{42} = 84.1567622144319$$
$$x_{43} = -62.1656136393034$$
$$x_{44} = -98.0556116937761$$
$$x_{45} = 33.8912797569952$$
$$x_{46} = 82.3476484258271$$
$$x_{47} = -87.2983548680217$$
$$x_{48} = -18.1833164890462$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = 6.66773447028393 \cdot 10^{31}$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = 6.66773447028393 \cdot 10^{31}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = 6.66773447028393 \cdot 10^{31}$$
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(- \frac{2 \left(2 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = 6.66773447028393 \cdot 10^{31}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(x)^2/sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = \log{\left(- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = - \log{\left(- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = \log{\left(- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
- No
$$\log{\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)} = - \log{\left(- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar