Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{360 x e^{- \frac{2 x}{3}} + 216 e^{- \frac{x}{3}} - 936 e^{- \frac{2 x}{3}} + 50625 e^{- \frac{5 x}{8}} + 2 e^{- \frac{x}{9}} - \frac{2 \left(30 x e^{- \frac{2 x}{3}} + 36 e^{- \frac{x}{3}} - 33 e^{- \frac{2 x}{3}} + 4500 e^{- \frac{5 x}{8}} + e^{- \frac{x}{9}}\right)^{2}}{5 x e^{- \frac{2 x}{3}} + 12 e^{- \frac{x}{3}} + 2 e^{- \frac{2 x}{3}} + 800 e^{- \frac{5 x}{8}} + e^{- \frac{x}{9}}}}{162 \left(5 x e^{- \frac{2 x}{3}} + 12 e^{- \frac{x}{3}} + 2 e^{- \frac{2 x}{3}} + 800 e^{- \frac{5 x}{8}} + e^{- \frac{x}{9}}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 140.756326173455$$
$$x_{2} = 194.754611614458$$
$$x_{3} = 158.754698660774$$
$$x_{4} = 142.756066761047$$
$$x_{5} = 186.754611788548$$
$$x_{6} = 192.75461163459$$
$$x_{7} = 138.756290978029$$
$$x_{8} = 130.73123584319$$
$$x_{9} = 190.754611665173$$
$$x_{10} = 144.755742982718$$
$$x_{11} = 178.754612794905$$
$$x_{12} = 160.754669253872$$
$$x_{13} = 162.754649583669$$
$$x_{14} = 182.754612084817$$
$$x_{15} = 166.754627886874$$
$$x_{16} = 148.755209188035$$
$$x_{17} = 134.752738105424$$
$$x_{18} = 188.754611713519$$
$$x_{19} = 146.755447561542$$
$$x_{20} = 128.700749917696$$
$$x_{21} = 136.755449979727$$
$$x_{22} = 156.754742242232$$
$$x_{23} = 180.754612363623$$
$$x_{24} = 164.754636517519$$
$$x_{25} = 168.75462221221$$
$$x_{26} = 150.755029067101$$
$$x_{27} = 152.754898377949$$
$$x_{28} = 124.529498819851$$
$$x_{29} = -2.5235677791187$$
$$x_{30} = 176.754613460903$$
$$x_{31} = 126.641042474399$$
$$x_{32} = 132.746030546239$$
$$x_{33} = 122.331876253435$$
$$x_{34} = 154.754806115547$$
$$x_{35} = 172.754616068305$$
$$x_{36} = 174.754614487844$$
$$x_{37} = 170.754618495258$$
$$x_{38} = 184.754611904711$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[176.754613460903, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.5235677791187\right]$$