Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(exp(-x/9)+800*exp(-x/1.6)+2exp(-x/1.5)+5xexp(-x/1.5)+12exp(-x/3))

Gráfico de la función y = ln(exp(-x/9)+800*exp(-x/1.6)+2exp(-x/1.5)+5xexp(-x/1.5)+12exp(-x/3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / -x         -x       -x         -x        -x \
          | ---        ---      ---        ---       ---|
          |  9         8/5      3/2        3/2        3 |
f(x) = log\e    + 800*e    + 2*e    + 5*x*e    + 12*e   /
f(x)=log⁡((5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \right)} 
f = log((5*x)*exp((-x)/(3/2)) + 800*exp((-x)/(8/5)) + exp((-x)/9) + 2*exp((-x)/(3/2)) + 12*exp((-x)/3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3)=0\log{\left(\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=11.8683698020742x_{1} = 11.8683698020742
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(exp((-x)/9) + 800*exp((-x)/(8/5)) + 2*exp((-x)/(3/2)) + (5*x)*exp((-x)/(3/2)) + 12*exp((-x)/3)).
log⁡(12e(−1)03+(0⋅5e(−1)032+(2e(−1)032+(e(−1)09+800e(−1)085))))\log{\left(12 e^{\frac{\left(-1\right) 0}{3}} + \left(0 \cdot 5 e^{\frac{\left(-1\right) 0}{\frac{3}{2}}} + \left(2 e^{\frac{\left(-1\right) 0}{\frac{3}{2}}} + \left(e^{\frac{\left(-1\right) 0}{9}} + 800 e^{\frac{\left(-1\right) 0}{\frac{8}{5}}}\right)\right)\right) \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(815)f{\left(0 \right)} = \log{\left(815 \right)}
Punto:
(0, log(815))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−10xe(−1)x323−4e(−1)x3+11e(−1)x323−500e(−1)x85−e(−1)x99(5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3=0\frac{- \frac{10 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}}{3} - 4 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} + \frac{11 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}}{3} - 500 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} - \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}}{9}}{\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34.5113257731155x_{1} = -34.5113257731155
Signos de extremos en los puntos:
(-34.51132577311545, 25.9713017252297)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−34.5113257731155x_{1} = -34.5113257731155
Decrece en los intervalos
(−∞,−34.5113257731155]\left(-\infty, -34.5113257731155\right]
Crece en los intervalos
[−34.5113257731155,∞)\left[-34.5113257731155, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
360xe−2x3+216e−x3−936e−2x3+50625e−5x8+2e−x9−2(30xe−2x3+36e−x3−33e−2x3+4500e−5x8+e−x9)25xe−2x3+12e−x3+2e−2x3+800e−5x8+e−x9162(5xe−2x3+12e−x3+2e−2x3+800e−5x8+e−x9)=0\frac{360 x e^{- \frac{2 x}{3}} + 216 e^{- \frac{x}{3}} - 936 e^{- \frac{2 x}{3}} + 50625 e^{- \frac{5 x}{8}} + 2 e^{- \frac{x}{9}} - \frac{2 \left(30 x e^{- \frac{2 x}{3}} + 36 e^{- \frac{x}{3}} - 33 e^{- \frac{2 x}{3}} + 4500 e^{- \frac{5 x}{8}} + e^{- \frac{x}{9}}\right)^{2}}{5 x e^{- \frac{2 x}{3}} + 12 e^{- \frac{x}{3}} + 2 e^{- \frac{2 x}{3}} + 800 e^{- \frac{5 x}{8}} + e^{- \frac{x}{9}}}}{162 \left(5 x e^{- \frac{2 x}{3}} + 12 e^{- \frac{x}{3}} + 2 e^{- \frac{2 x}{3}} + 800 e^{- \frac{5 x}{8}} + e^{- \frac{x}{9}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=140.756326173455x_{1} = 140.756326173455
x2=194.754611614458x_{2} = 194.754611614458
x3=158.754698660774x_{3} = 158.754698660774
x4=142.756066761047x_{4} = 142.756066761047
x5=186.754611788548x_{5} = 186.754611788548
x6=192.75461163459x_{6} = 192.75461163459
x7=138.756290978029x_{7} = 138.756290978029
x8=130.73123584319x_{8} = 130.73123584319
x9=190.754611665173x_{9} = 190.754611665173
x10=144.755742982718x_{10} = 144.755742982718
x11=178.754612794905x_{11} = 178.754612794905
x12=160.754669253872x_{12} = 160.754669253872
x13=162.754649583669x_{13} = 162.754649583669
x14=182.754612084817x_{14} = 182.754612084817
x15=166.754627886874x_{15} = 166.754627886874
x16=148.755209188035x_{16} = 148.755209188035
x17=134.752738105424x_{17} = 134.752738105424
x18=188.754611713519x_{18} = 188.754611713519
x19=146.755447561542x_{19} = 146.755447561542
x20=128.700749917696x_{20} = 128.700749917696
x21=136.755449979727x_{21} = 136.755449979727
x22=156.754742242232x_{22} = 156.754742242232
x23=180.754612363623x_{23} = 180.754612363623
x24=164.754636517519x_{24} = 164.754636517519
x25=168.75462221221x_{25} = 168.75462221221
x26=150.755029067101x_{26} = 150.755029067101
x27=152.754898377949x_{27} = 152.754898377949
x28=124.529498819851x_{28} = 124.529498819851
x29=−2.5235677791187x_{29} = -2.5235677791187
x30=176.754613460903x_{30} = 176.754613460903
x31=126.641042474399x_{31} = 126.641042474399
x32=132.746030546239x_{32} = 132.746030546239
x33=122.331876253435x_{33} = 122.331876253435
x34=154.754806115547x_{34} = 154.754806115547
x35=172.754616068305x_{35} = 172.754616068305
x36=174.754614487844x_{36} = 174.754614487844
x37=170.754618495258x_{37} = 170.754618495258
x38=184.754611904711x_{38} = 184.754611904711

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[176.754613460903,∞)\left[176.754613460903, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2.5235677791187]\left(-\infty, -2.5235677791187\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3)=−∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(exp((-x)/9) + 800*exp((-x)/(8/5)) + 2*exp((-x)/(3/2)) + (5*x)*exp((-x)/(3/2)) + 12*exp((-x)/3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3)x)=−19\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \right)}}{x}\right) = - \frac{1}{9}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−x9y = - \frac{x}{9}
lim⁡x→∞(log⁡((5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3)x)=−19\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \right)}}{x}\right) = - \frac{1}{9}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−x9y = - \frac{x}{9}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3)=log⁡(−5xe2x3+ex9+800e5x8+2e2x3+12ex3)\log{\left(\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \right)} = \log{\left(- 5 x e^{\frac{2 x}{3}} + e^{\frac{x}{9}} + 800 e^{\frac{5 x}{8}} + 2 e^{\frac{2 x}{3}} + 12 e^{\frac{x}{3}} \right)}
- No
log⁡((5xe(−1)x32+((800e(−1)x85+e(−1)x9)+2e(−1)x32))+12e(−1)x3)=−log⁡(−5xe2x3+ex9+800e5x8+2e2x3+12ex3)\log{\left(\left(5 x e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}} + \left(\left(800 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{8}{5}}} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{9}}\right) + 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{2}}}\right)\right) + 12 e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} \right)} = - \log{\left(- 5 x e^{\frac{2 x}{3}} + e^{\frac{x}{9}} + 800 e^{\frac{5 x}{8}} + 2 e^{\frac{2 x}{3}} + 12 e^{\frac{x}{3}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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