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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(4*x^2+6x+9)+2x-6

Gráfico de la función y = sqrt(4*x^2+6x+9)+2x-6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________________          
         /    2                     
f(x) = \/  4*x  + 6*x + 9  + 2*x - 6
$$f{\left(x \right)} = \left(2 x + \sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}\right) - 6$$ 
f = 2*x + sqrt(4*x^2 + 6*x + 9) - 6
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(2 x + \sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}\right) - 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{9}{10}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.9$$
$$x_{2} = 0.899999999999999$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(4*x^2 + 6*x + 9) + 2*x - 6.
$$-6 + \left(0 \cdot 2 + \sqrt{\left(4 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6\right) + 9}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -3$$
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x + 3}{\sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}} + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(4 x + 3\right)^{2}}{2 x \left(2 x + 3\right) + 9} + 4}{\sqrt{2 x \left(2 x + 3\right) + 9}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x + \sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}\right) - 6\right) = - \frac{15}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \frac{15}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + \sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}\right) - 6\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(4*x^2 + 6*x + 9) + 2*x - 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x + \sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}\right) - 6}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + \sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}\right) - 6}{x}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 4 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(2 x + \sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}\right) - 6 = - 2 x + \sqrt{4 x^{2} - 6 x + 9} - 6$$
- No
$$\left(2 x + \sqrt{\left(4 x^{2} + 6 x\right) + 9}\right) - 6 = 2 x - \sqrt{4 x^{2} - 6 x + 9} + 6$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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