Sr Examen

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Gráfico de la función y = asin(3*x-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = asin(3*x - 5)
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(3 x - 5 \right)}$$
f = asin(3*x - 5)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{asin}{\left(3 x - 5 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.66666666666667$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(3*x - 5).
$$\operatorname{asin}{\left(-5 + 0 \cdot 3 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \operatorname{asin}{\left(5 \right)}$$
Punto:
(0, -asin(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3}{\sqrt{1 - \left(3 x - 5\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{9 \left(3 x - 5\right)}{\left(1 - \left(3 x - 5\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(3 x - 5 \right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(3 x - 5 \right)} = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(3*x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x - 5 \right)}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x - 5 \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{asin}{\left(3 x - 5 \right)} = - \operatorname{asin}{\left(3 x + 5 \right)}$$
- No
$$\operatorname{asin}{\left(3 x - 5 \right)} = \operatorname{asin}{\left(3 x + 5 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar