Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- (√(x+ uno))/((x+ dos)*(x- tres))
- (√(x más 1)) dividir por ((x más 2) multiplicar por (x menos 3))
- (√(x más uno)) dividir por ((x más dos) multiplicar por (x menos tres))
- (√(x+1))/((x+2)(x-3))
- √x+1/x+2x-3
- (√(x+1)) dividir por ((x+2)*(x-3))
-
Expresiones semejantes
- (√(x+1))/((x-2)*(x-3))
- (√(x+1))/((x+2)*(x+3))
- (√(x-1))/((x+2)*(x-3))
Gráfico de la función y = (√(x+1))/((x+2)*(x-3))
Solución
Ha introducido
[src]
_______
\/ x + 1
f(x) = ---------------
(x + 2)*(x - 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}$$
f = sqrt(x + 1)/(((x - 3)*(x + 2)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\frac{1}{x - 3} \frac{1}{x + 2}}{2 \sqrt{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\frac{1}{x - 3} \frac{1}{x + 2}}{2 \sqrt{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{34}{5} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}} - \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{34}{5} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}} - \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{34}{5} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}} - \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{34}{5} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}} - \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{34}{5} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}} - \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{34}{5} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}} - \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x + 1} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{2 x - 1}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right) \sqrt{x + 1} \left(x + 2\right)}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{34}{5} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}} - \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{34}{5} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}} - \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{17}{5} + \frac{49}{450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{158285}}{675} + \frac{7073}{3000}}}}}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 1)/(((x + 2)*(x - 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = \frac{\sqrt{1 - x}}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = - \frac{\sqrt{1 - x}}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = \frac{\sqrt{1 - x}}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x + 1}}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} = - \frac{\sqrt{1 - x}}{\left(2 - x\right) \left(- x - 3\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar