Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 1+4cos(2pix-pi)

Gráfico de la función y = 1+4cos(2pix-pi)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 1 + 4*cos(2*pi*x - pi)
f(x)=4cos⁡(2πx−π)+1f{\left(x \right)} = 4 \cos{\left(2 \pi x - \pi \right)} + 1 
f = 4*cos((2*pi)*x - pi) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4cos⁡(2πx−π)+1=04 \cos{\left(2 \pi x - \pi \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π−acos⁡(14)2πx_{1} = \frac{\pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{2}}{\pi}
x2=acos⁡(14)2πx_{2} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{2 \pi}
Solución numérica
x1=62.2097846883724x_{1} = 62.2097846883724
x2=18.2097846883724x_{2} = 18.2097846883724
x3=−61.7902153116276x_{3} = -61.7902153116276
x4=24.2097846883724x_{4} = 24.2097846883724
x5=−71.7902153116276x_{5} = -71.7902153116276
x6=28.2097846883724x_{6} = 28.2097846883724
x7=86.2097846883724x_{7} = 86.2097846883724
x8=−99.7902153116276x_{8} = -99.7902153116276
x9=−7.79021531162758x_{9} = -7.79021531162758
x10=58.2097846883724x_{10} = 58.2097846883724
x11=46.2097846883724x_{11} = 46.2097846883724
x12=−67.7902153116276x_{12} = -67.7902153116276
x13=82.2097846883724x_{13} = 82.2097846883724
x14=−79.7902153116276x_{14} = -79.7902153116276
x15=−63.7902153116276x_{15} = -63.7902153116276
x16=50.2097846883724x_{16} = 50.2097846883724
x17=−29.7902153116276x_{17} = -29.7902153116276
x18=−37.7902153116276x_{18} = -37.7902153116276
x19=−33.7902153116276x_{19} = -33.7902153116276
x20=−57.7902153116276x_{20} = -57.7902153116276
x21=−51.7902153116276x_{21} = -51.7902153116276
x22=98.2097846883724x_{22} = 98.2097846883724
x23=48.2097846883724x_{23} = 48.2097846883724
x24=−21.7902153116276x_{24} = -21.7902153116276
x25=−93.7902153116276x_{25} = -93.7902153116276
x26=6.20978468837242x_{26} = 6.20978468837242
x27=−11.7902153116276x_{27} = -11.7902153116276
x28=−15.7902153116276x_{28} = -15.7902153116276
x29=−85.7902153116276x_{29} = -85.7902153116276
x30=−87.7902153116276x_{30} = -87.7902153116276
x31=66.2097846883724x_{31} = 66.2097846883724
x32=36.2097846883724x_{32} = 36.2097846883724
x33=76.2097846883724x_{33} = 76.2097846883724
x34=−3.79021531162758x_{34} = -3.79021531162758
x35=100.209784688372x_{35} = 100.209784688372
x36=40.2097846883724x_{36} = 40.2097846883724
x37=90.2097846883724x_{37} = 90.2097846883724
x38=−81.7902153116276x_{38} = -81.7902153116276
x39=26.2097846883724x_{39} = 26.2097846883724
x40=−43.7902153116276x_{40} = -43.7902153116276
x41=68.2097846883724x_{41} = 68.2097846883724
x42=0.209784688372417x_{42} = 0.209784688372417
x43=−49.7902153116276x_{43} = -49.7902153116276
x44=8.20978468837242x_{44} = 8.20978468837242
x45=−5.79021531162758x_{45} = -5.79021531162758
x46=72.2097846883724x_{46} = 72.2097846883724
x47=42.2097846883724x_{47} = 42.2097846883724
x48=22.2097846883724x_{48} = 22.2097846883724
x49=−9.79021531162758x_{49} = -9.79021531162758
x50=−59.7902153116276x_{50} = -59.7902153116276
x51=84.2097846883724x_{51} = 84.2097846883724
x52=44.2097846883724x_{52} = 44.2097846883724
x53=92.2097846883724x_{53} = 92.2097846883724
x54=−77.7902153116276x_{54} = -77.7902153116276
x55=78.2097846883724x_{55} = 78.2097846883724
x56=80.2097846883724x_{56} = 80.2097846883724
x57=32.2097846883724x_{57} = 32.2097846883724
x58=−69.7902153116276x_{58} = -69.7902153116276
x59=12.2097846883724x_{59} = 12.2097846883724
x60=−23.7902153116276x_{60} = -23.7902153116276
x61=60.2097846883724x_{61} = 60.2097846883724
x62=−95.7902153116276x_{62} = -95.7902153116276
x63=−53.7902153116276x_{63} = -53.7902153116276
x64=70.2097846883724x_{64} = 70.2097846883724
x65=−89.7902153116276x_{65} = -89.7902153116276
x66=14.2097846883724x_{66} = 14.2097846883724
x67=16.2097846883724x_{67} = 16.2097846883724
x68=30.2097846883724x_{68} = 30.2097846883724
x69=−31.7902153116276x_{69} = -31.7902153116276
x70=74.2097846883724x_{70} = 74.2097846883724
x71=−83.7902153116276x_{71} = -83.7902153116276
x72=−97.7902153116276x_{72} = -97.7902153116276
x73=−27.7902153116276x_{73} = -27.7902153116276
x74=−75.7902153116276x_{74} = -75.7902153116276
x75=−65.7902153116276x_{75} = -65.7902153116276
x76=−73.7902153116276x_{76} = -73.7902153116276
x77=34.2097846883724x_{77} = 34.2097846883724
x78=2.20978468837242x_{78} = 2.20978468837242
x79=−1.79021531162758x_{79} = -1.79021531162758
x80=96.2097846883724x_{80} = 96.2097846883724
x81=10.2097846883724x_{81} = 10.2097846883724
x82=56.2097846883724x_{82} = 56.2097846883724
x83=4.20978468837242x_{83} = 4.20978468837242
x84=54.2097846883724x_{84} = 54.2097846883724
x85=−25.7902153116276x_{85} = -25.7902153116276
x86=−45.7902153116276x_{86} = -45.7902153116276
x87=−17.7902153116276x_{87} = -17.7902153116276
x88=20.2097846883724x_{88} = 20.2097846883724
x89=−13.7902153116276x_{89} = -13.7902153116276
x90=−35.7902153116276x_{90} = -35.7902153116276
x91=64.2097846883724x_{91} = 64.2097846883724
x92=−41.7902153116276x_{92} = -41.7902153116276
x93=−55.7902153116276x_{93} = -55.7902153116276
x94=−47.7902153116276x_{94} = -47.7902153116276
x95=−39.7902153116276x_{95} = -39.7902153116276
x96=−19.7902153116276x_{96} = -19.7902153116276
x97=38.2097846883724x_{97} = 38.2097846883724
x98=94.2097846883724x_{98} = 94.2097846883724
x99=−91.7902153116276x_{99} = -91.7902153116276
x100=52.2097846883724x_{100} = 52.2097846883724
x101=88.2097846883724x_{101} = 88.2097846883724
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 + 4*cos((2*pi)*x - pi).
4cos⁡(−π+0⋅2π)+14 \cos{\left(- \pi + 0 \cdot 2 \pi \right)} + 1
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8πsin⁡(2πx)=08 \pi \sin{\left(2 \pi x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, -3)

(1/2, 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
[0,12]\left[0, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[12,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
16π2cos⁡(2πx)=016 \pi^{2} \cos{\left(2 \pi x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
x2=34x_{2} = \frac{3}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,14]∪[34,∞)\left(-\infty, \frac{1}{4}\right] \cup \left[\frac{3}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[14,34]\left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4cos⁡(2πx−π)+1)=⟨−3,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(4 \cos{\left(2 \pi x - \pi \right)} + 1\right) = \left\langle -3, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,5⟩y = \left\langle -3, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(4cos⁡(2πx−π)+1)=⟨−3,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(4 \cos{\left(2 \pi x - \pi \right)} + 1\right) = \left\langle -3, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,5⟩y = \left\langle -3, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + 4*cos((2*pi)*x - pi), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4cos⁡(2πx−π)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(2 \pi x - \pi \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4cos⁡(2πx−π)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(2 \pi x - \pi \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4cos⁡(2πx−π)+1=1−4cos⁡(2πx)4 \cos{\left(2 \pi x - \pi \right)} + 1 = 1 - 4 \cos{\left(2 \pi x \right)}
- No
4cos⁡(2πx−π)+1=4cos⁡(2πx)−14 \cos{\left(2 \pi x - \pi \right)} + 1 = 4 \cos{\left(2 \pi x \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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