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Trazado el gráfico de la función/ (-3(y-3)^2+36)/9

Gráfico de la función y = (-3(y-3)^2+36)/9

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  2     
       - 3*(y - 3)  + 36
f(y) = -----------------
               9
f(y)=36−3(y−3)29f{\left(y \right)} = \frac{36 - 3 \left(y - 3\right)^{2}}{9} 
f = (36 - 3*(y - 3)^2)/9
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
36−3(y−3)29=0\frac{36 - 3 \left(y - 3\right)^{2}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=3−23y_{1} = 3 - 2 \sqrt{3}
y2=3+23y_{2} = 3 + 2 \sqrt{3}
Solución numérica
y1=−0.464101615137755y_{1} = -0.464101615137755
y2=6.46410161513775y_{2} = 6.46410161513775
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en (-3*(y - 3)^2 + 36)/9.
36−3(−3)29\frac{36 - 3 \left(-3\right)^{2}}{9}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
2−2y3=02 - \frac{2 y}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=3y_{1} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(3, 4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
y1=3y_{1} = 3
Decrece en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Crece en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
−23=0- \frac{2}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞(36−3(y−3)29)=−∞\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{36 - 3 \left(y - 3\right)^{2}}{9}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡y→∞(36−3(y−3)29)=−∞\lim_{y \to \infty}\left(\frac{36 - 3 \left(y - 3\right)^{2}}{9}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-3*(y - 3)^2 + 36)/9, dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(36−3(y−3)29y)=∞\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{36 - 3 \left(y - 3\right)^{2}}{9 y}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡y→∞(36−3(y−3)29y)=−∞\lim_{y \to \infty}\left(\frac{36 - 3 \left(y - 3\right)^{2}}{9 y}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
36−3(y−3)29=4−(−y−3)23\frac{36 - 3 \left(y - 3\right)^{2}}{9} = 4 - \frac{\left(- y - 3\right)^{2}}{3}
- No
36−3(y−3)29=(−y−3)23−4\frac{36 - 3 \left(y - 3\right)^{2}}{9} = \frac{\left(- y - 3\right)^{2}}{3} - 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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