Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(1 - \frac{6 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{6 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = -3 + \sqrt{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{6 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{6 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{6 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{6 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3 - \sqrt{3}, -3 + \sqrt{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-3 + \sqrt{3}, \infty\right)$$