Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(-x^2+5*x+2)

Gráfico de la función y = ln(-x^2+5*x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   2          \
f(x) = log\- x  + 5*x + 2/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2 \right)}$$ 
f = log(-x^2 + 5*x + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{29}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.192582403567252$$
$$x_{2} = 5.19258240356725$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(-x^2 + 5*x + 2).
$$\log{\left(\left(- 0^{2} + 0 \cdot 5\right) + 2 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(2 \right)}$$
Punto:
(0, log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{5 - 2 x}{\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(5/2, log(33/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{- x^{2} + 5 x + 2} + 2}{- x^{2} + 5 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2 \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2 \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(-x^2 + 5*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2 \right)} = \log{\left(- x^{2} - 5 x + 2 \right)}$$
- No
$$\log{\left(\left(- x^{2} + 5 x\right) + 2 \right)} = - \log{\left(- x^{2} - 5 x + 2 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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