Sr Examen

Gráfico de la función y = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 4)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)$$
f = (((x - 2)*(x - 1))*(x - 3))*(x - 4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x - 1)*(x - 2))*(x - 3))*(x - 4).
$$\left(-4\right) \left(-3\right) \left(- -2\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 24$$
Punto:
(0, 24)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(\left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(5/2, 9/16)

       ___  /      ___\ /        ___\ /        ___\ /      ___\ 
 5   \/ 5   |1   \/ 5 | |  3   \/ 5 | |  1   \/ 5 | |3   \/ 5 | 
(- - -----, |- - -----|*|- - - -----|*|- - - -----|*|- - -----|)
 2     2    \2     2  / \  2     2  / \  2     2  / \2     2  / 

       ___  /      ___\ /        ___\ /        ___\ /      ___\ 
 5   \/ 5   |1   \/ 5 | |  3   \/ 5 | |  1   \/ 5 | |3   \/ 5 | 
(- + -----, |- + -----|*|- - + -----|*|- - + -----|*|- + -----|)
 2     2    \2     2  / \  2     2  / \  2     2  / \2     2  / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{5}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 \left(x - 4\right) \left(x - 2\right) + \left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}, \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x - 2))*(x - 3))*(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = - \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar