Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(\left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(5/2, 9/16)
___ / ___\ / ___\ / ___\ / ___\
5 \/ 5 |1 \/ 5 | | 3 \/ 5 | | 1 \/ 5 | |3 \/ 5 |
(- - -----, |- - -----|*|- - - -----|*|- - - -----|*|- - -----|)
2 2 \2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 /
___ / ___\ / ___\ / ___\ / ___\
5 \/ 5 |1 \/ 5 | | 3 \/ 5 | | 1 \/ 5 | |3 \/ 5 |
(- + -----, |- + -----|*|- - + -----|*|- - + -----|*|- + -----|)
2 2 \2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{5}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$