Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x- uno)(x- dos)(x- tres)(x- cuatro)
- (x menos 1)(x menos 2)(x menos 3)(x menos 4)
- (x menos uno)(x menos dos)(x menos tres)(x menos cuatro)
- x-1x-2x-3x-4
-
Expresiones semejantes
- (x-1)(x-2)(x-3)(x+4)
- (x-1)(x-2)(x+3)(x-4)
- (x+1)(x-2)(x-3)(x-4)
- (x-1)(x+2)(x-3)(x-4)
Gráfico de la función y = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 4)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)$$
f = (((x - 2)*(x - 1))*(x - 3))*(x - 4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(\left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{5}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(\left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(5/2, 9/16)
___ / ___\ / ___\ / ___\ / ___\ 5 \/ 5 |1 \/ 5 | | 3 \/ 5 | | 1 \/ 5 | |3 \/ 5 | (- - -----, |- - -----|*|- - - -----|*|- - - -----|*|- - -----|) 2 2 \2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 /
___ / ___\ / ___\ / ___\ / ___\ 5 \/ 5 |1 \/ 5 | | 3 \/ 5 | | 1 \/ 5 | |3 \/ 5 | (- + -----, |- + -----|*|- - + -----|*|- - + -----|*|- + -----|) 2 2 \2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{5}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{5}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 \left(x - 4\right) \left(x - 2\right) + \left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}, \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 \left(x - 4\right) \left(x - 2\right) + \left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right) + \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}, \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{5}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x - 2))*(x - 3))*(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = - \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right) \left(x - 4\right) = - \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar