Sr Examen

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-exp(-x/2)-exp(3*x/2)
Trazado el gráfico de la función/ -exp(-x/2)-exp(3*x/2)

Gráfico de la función y = -exp(-x/2)-exp(3*x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -x     3*x
          ---    ---
           2      2 
f(x) = - e    - e
f(x)=−e(−1)x2−e3x2f{\left(x \right)} = - e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - e^{\frac{3 x}{2}} 
f = -exp((-x)/2) - exp((3*x)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−e(−1)x2−e3x2=0- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - e^{\frac{3 x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -exp((-x)/2) - exp((3*x)/2).
−e(−1)02−e0⋅32- e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}} - e^{\frac{0 \cdot 3}{2}}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e(−1)x22−3e3x22=0\frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{2} - \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−log⁡(3)2x_{1} = - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
              4 ___ 
 -log(3)   -4*\/ 3  
(--------, --------)
    2         3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−log⁡(3)2x_{1} = - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−log⁡(3)2]\left(-\infty, - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−log⁡(3)2,∞)\left[- \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−9e3x2+e−x24=0- \frac{9 e^{\frac{3 x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−e(−1)x2−e3x2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - e^{\frac{3 x}{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−e(−1)x2−e3x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - e^{\frac{3 x}{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -exp((-x)/2) - exp((3*x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−e(−1)x2−e3x2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - e^{\frac{3 x}{2}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−e(−1)x2−e3x2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - e^{\frac{3 x}{2}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−e(−1)x2−e3x2=−ex2−e−3x2- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - e^{\frac{3 x}{2}} = - e^{\frac{x}{2}} - e^{- \frac{3 x}{2}}
- No
−e(−1)x2−e3x2=ex2+e−3x2- e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - e^{\frac{3 x}{2}} = e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{3 x}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -exp(-x/2)-exp(3*x/2)
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