Sr Examen

Otras calculadoras

(-1+2*sqrt(x))/log(x)
Trazado el gráfico de la función/ (-1+2*sqrt(x))/log(x)

Gráfico de la función y = (-1+2*sqrt(x))/log(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                ___
       -1 + 2*\/ x 
f(x) = ------------
          log(x)
f(x)=2x−1log⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}} 
f = (2*sqrt(x) - 1)/log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x−1log⁡(x)=0\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 + 2*sqrt(x))/log(x).
−1+20log⁡(0)\frac{-1 + 2 \sqrt{0}}{\log{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x−1xlog⁡(x)2+1xlog⁡(x)=0- \frac{2 \sqrt{x} - 1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x} \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4.64633201352995x_{1} = 4.64633201352995
Signos de extremos en los puntos:
(4.646332013529952, 2.1555352035005)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4.64633201352995x_{1} = 4.64633201352995
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[4.64633201352995,∞)\left[4.64633201352995, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4.64633201352995]\left(-\infty, 4.64633201352995\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+2log⁡(x))(2x−1)x2log⁡(x)−12x32−2x32log⁡(x)log⁡(x)=0\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(2 \sqrt{x} - 1\right)}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=9.94052290997461x_{1} = 9.94052290997461
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−((1+2log⁡(x))(2x−1)x2log⁡(x)−12x32−2x32log⁡(x)log⁡(x))=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(2 \sqrt{x} - 1\right)}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+((1+2log⁡(x))(2x−1)x2log⁡(x)−12x32−2x32log⁡(x)log⁡(x))=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(2 \sqrt{x} - 1\right)}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,9.94052290997461]\left(-\infty, 9.94052290997461\right]
Convexa en los intervalos
[9.94052290997461,∞)\left[9.94052290997461, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x−1log⁡(x))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2x−1log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + 2*sqrt(x))/log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−1xlog⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sqrt{x} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2x−1xlog⁡(x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sqrt{x} - 1}{x \log{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x−1log⁡(x)=2−x−1log⁡(−x)\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}} = \frac{2 \sqrt{- x} - 1}{\log{\left(- x \right)}}
- No
2x−1log⁡(x)=−2−x−1log⁡(−x)\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\log{\left(x \right)}} = - \frac{2 \sqrt{- x} - 1}{\log{\left(- x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-1+2*sqrt(x))/log(x)
    © Sr Examen – Калькулятор