Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(2 \sqrt{x} - 1\right)}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 9.94052290997461$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(2 \sqrt{x} - 1\right)}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(2 \sqrt{x} - 1\right)}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 9.94052290997461\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[9.94052290997461, \infty\right)$$