Sr Examen

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log(x)/(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ log(x)/(x^2+1)

Gráfico de la función y = log(x)/(x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)
f(x) = ------
        2    
       x  + 1
f(x)=log⁡(x)x2+1f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} 
f = log(x)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)x2+1=0\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(x^2 + 1).
log⁡(0)02+1\frac{\log{\left(0 \right)}}{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xlog⁡(x)(x2+1)2+1x(x2+1)=0- \frac{2 x \log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eW(e−1)2+12x_{1} = e^{\frac{W\left(e^{-1}\right)}{2} + \frac{1}{2}}
Signos de extremos en los puntos:
       / -1\          / -1\   
  1   W\e  /     1   W\e  /   
  - + ------     - + ------   
  2     2        2     2      
(e         , ---------------)
                        / -1\ 
                   1 + W\e  / 
              1 + e


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=eW(e−1)2+12x_{1} = e^{\frac{W\left(e^{-1}\right)}{2} + \frac{1}{2}}
Decrece en los intervalos
(−∞,eW(e−1)2+12]\left(-\infty, e^{\frac{W\left(e^{-1}\right)}{2} + \frac{1}{2}}\right]
Crece en los intervalos
[eW(e−1)2+12,∞)\left[e^{\frac{W\left(e^{-1}\right)}{2} + \frac{1}{2}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2x2+1−1)log⁡(x)x2+1−4x2+1−1x2x2+1=0\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} - \frac{4}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3691.79841124202x_{1} = 3691.79841124202
x2=12953.6966886795x_{2} = 12953.6966886795
x3=7326.33812432255x_{3} = 7326.33812432255
x4=4476.05209256785x_{4} = 4476.05209256785
x5=3953.61742219977x_{5} = 3953.61742219977
x6=8355.36725638613x_{6} = 8355.36725638613
x7=10149.1385176944x_{7} = 10149.1385176944
x8=3429.55759692266x_{8} = 3429.55759692266
x9=11680.7827135786x_{9} = 11680.7827135786
x10=11425.8405194752x_{10} = 11425.8405194752
x11=4997.00101926441x_{11} = 4997.00101926441
x12=4736.70325693264x_{12} = 4736.70325693264
x13=2.75305479802028x_{13} = 2.75305479802028
x14=9893.37122231327x_{14} = 9893.37122231327
x15=6810.53281374671x_{15} = 6810.53281374671
x16=5256.96275207683x_{16} = 5256.96275207683
x17=10915.5695843093x_{17} = 10915.5695843093
x18=6034.99196168079x_{18} = 6034.99196168079
x19=8098.4114544872x_{19} = 8098.4114544872
x20=5516.60496093755x_{20} = 5516.60496093755
x21=4215.02952761332x_{21} = 4215.02952761332
x22=2640.27996022764x_{22} = 2640.27996022764
x23=13207.941442523x_{23} = 13207.941442523
x24=8868.72047121906x_{24} = 8868.72047121906
x25=7841.25994478578x_{25} = 7841.25994478578
x26=10404.7576864405x_{26} = 10404.7576864405
x27=3166.88567502967x_{27} = 3166.88567502967
x28=12190.298122935x_{28} = 12190.298122935
x29=6293.76487259873x_{29} = 6293.76487259873
x30=10660.2332730512x_{30} = 10660.2332730512
x31=5775.9431825248x_{31} = 5775.9431825248
x32=8612.13464660781x_{32} = 8612.13464660781
x33=12444.8778723491x_{33} = 12444.8778723491
x34=9381.37277176302x_{34} = 9381.37277176302
x35=9637.45099950131x_{35} = 9637.45099950131
x36=11935.6007997828x_{36} = 11935.6007997828
x37=6552.27456364991x_{37} = 6552.27456364991
x38=7583.90494126125x_{38} = 7583.90494126125
x39=11170.7707062206x_{39} = 11170.7707062206
x40=12699.3430917936x_{40} = 12699.3430917936
x41=7068.55059311339x_{41} = 7068.55059311339
x42=2903.78480351214x_{42} = 2903.78480351214
x43=9125.13116247628x_{43} = 9125.13116247628

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2.75305479802028,∞)\left[2.75305479802028, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2.75305479802028]\left(-\infty, 2.75305479802028\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)x2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x(x2+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)x(x2+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)x2+1=log⁡(−x)x2+1\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2} + 1}
- No
log⁡(x)x2+1=−log⁡(−x)x2+1\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(x)/(x^2+1)
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