Sr Examen

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log(1-1/x^2)
Trazado el gráfico de la función/ log(1-1/x^2)

Gráfico de la función y = log(1-1/x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    1 \
f(x) = log|1 - --|
          |     2|
          \    x /
f(x)=log⁡(1−1x2)f{\left(x \right)} = \log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)} 
f = log(1 - 1/x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(1−1x2)=0\log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 - 1/x^2).
log⁡(1−102)\log{\left(1 - \frac{1}{0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x3(1−1x2)=0\frac{2}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(3+2x2(1−1x2))x4(1−1x2)=0- \frac{2 \left(3 + \frac{2}{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−33x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=33x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−2(3+2x2(1−1x2))x4(1−1x2))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(3 + \frac{2}{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \infty
lim⁡x→0+(−2(3+2x2(1−1x2))x4(1−1x2))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(3 + \frac{2}{x^{2} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−33,33]\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−33]∪[33,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(1−1x2)=0\lim_{x \to -\infty} \log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞log⁡(1−1x2)=0\lim_{x \to \infty} \log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 - 1/x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(1−1x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(1−1x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(1−1x2)=log⁡(1−1x2)\log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)} = \log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)}
- Sí
log⁡(1−1x2)=−log⁡(1−1x2)\log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)} = - \log{\left(1 - \frac{1}{x^{2}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = log(1-1/x^2)
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