Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos + cuatro x+4)/(x- tres)x/(x^ dos - uno)
- (x al cuadrado más 4x más 4) dividir por (x menos 3)x dividir por (x al cuadrado menos 1)
- (x en el grado dos más cuatro x más 4) dividir por (x menos tres)x dividir por (x en el grado dos menos uno)
- (x2+4x+4)/(x-3)x/(x2-1)
- x2+4x+4/x-3x/x2-1
- (x²+4x+4)/(x-3)x/(x²-1)
- (x en el grado 2+4x+4)/(x-3)x/(x en el grado 2-1)
- x^2+4x+4/x-3x/x^2-1
- (x^2+4x+4) dividir por (x-3)x dividir por (x^2-1)
-
Expresiones semejantes
- (x^2-4x+4)/(x-3)x/(x^2-1)
- (x^2+4x-4)/(x-3)x/(x^2-1)
- (x^2+4x+4)/(x+3)x/(x^2-1)
- (x^2+4x+4)/(x-3)x/(x^2+1)
Gráfico de la función y = (x^2+4x+4)/(x-3)x/(x^2-1)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x + 4*x + 4
------------*x
x - 3
f(x) = --------------
2
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1}$$
f = (x*((x^2 + 4*x + 4)/(x - 3)))/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2.0000002065287$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2.0000002065287$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{2 x + 4}{x - 3} - \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{4}{21} + \frac{205}{441 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{21} + \frac{205}{441 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, \frac{4}{21} + \frac{205}{441 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[\frac{4}{21} + \frac{205}{441 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{2} \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\frac{2 x + 4}{x - 3} - \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{4}{21} + \frac{205}{441 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 0)
/ 2 \
/ ___________________ \ | / ___________________ \ ___________________ |
| / ______ | | | / ______ | / ______ |
|4 / 5167 2*\/ 1139 205 | |100 |4 / 5167 2*\/ 1139 205 | / 5167 2*\/ 1139 820 |
|-- + 3 / ---- + ---------- + ----------------------------|*|--- + |-- + 3 / ---- + ---------- + ----------------------------| + 4*3 / ---- + ---------- + ----------------------------|
|21 \/ 9261 147 ___________________| | 21 |21 \/ 9261 147 ___________________| \/ 9261 147 ___________________|
| / ______ | | | / ______ | / ______ |
___________________ | / 5167 2*\/ 1139 | | | / 5167 2*\/ 1139 | / 5167 2*\/ 1139 |
/ ______ | 441*3 / ---- + ---------- | | | 441*3 / ---- + ---------- | 441*3 / ---- + ---------- |
4 / 5167 2*\/ 1139 205 \ \/ 9261 147 / \ \ \/ 9261 147 / \/ 9261 147 /
(-- + 3 / ---- + ---------- + ----------------------------, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
21 \/ 9261 147 ___________________ / 2\
/ ______ | / ___________________ \ | / ___________________ \
/ 5167 2*\/ 1139 | | / ______ | | | / ______ |
441*3 / ---- + ---------- | |4 / 5167 2*\/ 1139 205 | | | 59 / 5167 2*\/ 1139 205 |
\/ 9261 147 |-1 + |-- + 3 / ---- + ---------- + ----------------------------| |*|- -- + 3 / ---- + ---------- + ----------------------------|
| |21 \/ 9261 147 ___________________| | | 21 \/ 9261 147 ___________________|
| | / ______ | | | / ______ |
| | / 5167 2*\/ 1139 | | | / 5167 2*\/ 1139 |
| | 441*3 / ---- + ---------- | | | 441*3 / ---- + ---------- |
\ \ \/ 9261 147 / / \ \/ 9261 147 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{21} + \frac{205}{441 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, \frac{4}{21} + \frac{205}{441 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[\frac{4}{21} + \frac{205}{441 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{1139}}{147} + \frac{5167}{9261}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.37609608239346$$
$$x_{2} = -0.400616880203157$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{3} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-0.400616880203157, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.37609608239346\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.37609608239346$$
$$x_{2} = -0.400616880203157$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(x \left(1 - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x - 3} + \frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) + 2 x + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x \left(x^{2} + x \left(2 x + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right) + 4 x + 4\right)}{x^{2} - 1} + 4 - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{3} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-0.400616880203157, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3.37609608239346\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x^2 + 4*x + 4)/(x - 3))*x)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1} = - \frac{x \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}{\left(- x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}$$
- No
$$\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1} = \frac{x \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}{\left(- x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1} = - \frac{x \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}{\left(- x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}$$
- No
$$\frac{x \frac{\left(x^{2} + 4 x\right) + 4}{x - 3}}{x^{2} - 1} = \frac{x \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}{\left(- x - 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar