Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2+2)/(x+2)

Gráfico de la función y = (x^2+2)/(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  + 2
f(x) = ------
       x + 2
f(x)=x2+2x+2f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 2}{x + 2} 
f = (x^2 + 2)/(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+2x+2=0\frac{x^{2} + 2}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 2)/(x + 2).
02+22\frac{0^{2} + 2}{2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx+2−x2+2(x+2)2=0\frac{2 x}{x + 2} - \frac{x^{2} + 2}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2+6x_{1} = -2 + \sqrt{6}
x2=−6−2x_{2} = - \sqrt{6} - 2
Signos de extremos en los puntos:
                   /                2\ 
               ___ |    /       ___\ | 
        ___  \/ 6 *\2 + \-2 + \/ 6 / / 
(-2 + \/ 6, -------------------------)
                         6             

                    /                2\  
                ___ |    /       ___\ |  
        ___  -\/ 6 *\2 + \-2 - \/ 6 / /  
(-2 - \/ 6, ---------------------------)
                          6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2+6x_{1} = -2 + \sqrt{6}
Puntos máximos de la función:
x1=−6−2x_{1} = - \sqrt{6} - 2
Decrece en los intervalos
(−∞,−6−2]∪[−2+6,∞)\left(-\infty, - \sqrt{6} - 2\right] \cup \left[-2 + \sqrt{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−6−2,−2+6]\left[- \sqrt{6} - 2, -2 + \sqrt{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2xx+2+1+x2+2(x+2)2)x+2=0\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x + 2} + 1 + \frac{x^{2} + 2}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+2x+2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2}{x + 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+2x+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2}{x + 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 2)/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+2x(x+2))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2+2x(x+2))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+2x+2=x2+22−x\frac{x^{2} + 2}{x + 2} = \frac{x^{2} + 2}{2 - x}
- No
x2+2x+2=−x2+22−x\frac{x^{2} + 2}{x + 2} = - \frac{x^{2} + 2}{2 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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