Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-3)/(x^2-8)
-
x^4-2*x^3+1
-
x^4-2*x^3+5
-
x^4/4-2*x^2+1
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro / cuatro - dos *x^ dos + uno
- x en el grado 4 dividir por 4 menos 2 multiplicar por x al cuadrado más 1
- x en el grado cuatro dividir por cuatro menos dos multiplicar por x en el grado dos más uno
- x4/4-2*x2+1
- x⁴/4-2*x²+1
- x en el grado 4/4-2*x en el grado 2+1
- x^4/4-2x^2+1
- x4/4-2x2+1
- x^4 dividir por 4-2*x^2+1
-
Expresiones semejantes
- x^4/4+2*x^2+1
- x^4/4-2*x^2-1
Gráfico de la función y = x^4/4-2*x^2+1
Solución
Ha introducido
[src]
4
x 2
f(x) = -- - 2*x + 1
4
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1$$
f = x^4/4 - 2*x^2 + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3}$$
$$x_{4} = - \sqrt{3} - 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.732050807568877$$
$$x_{2} = 2.73205080756888$$
$$x_{3} = -0.732050807568877$$
$$x_{4} = -2.73205080756888$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3}$$
$$x_{4} = - \sqrt{3} - 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.732050807568877$$
$$x_{2} = 2.73205080756888$$
$$x_{3} = -0.732050807568877$$
$$x_{4} = -2.73205080756888$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{3} - 4 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{3} - 4 x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -3)
(0, 1)
(2, -3)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 x^{2} - 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 x^{2} - 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4/4 - 2*x^2 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1 = \left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1$$
- Sí
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1 = \left(- \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{2}\right) - 1$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1 = \left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1$$
- Sí
$$\left(\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2}\right) + 1 = \left(- \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{2}\right) - 1$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico