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Trazado el gráfico de la función/ x^3-12x^2+21x+10

Gráfico de la función y = x^3-12x^2+21x+10

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3       2            
f(x) = x  - 12*x  + 21*x + 10
f(x)=(21x+(x3−12x2))+10f{\left(x \right)} = \left(21 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 10 
f = 21*x + x^3 - 12*x^2 + 10
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(21x+(x3−12x2))+10=0\left(21 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 10 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4+917+2110i3+17+2110i3x_{1} = 4 + \frac{9}{\sqrt[3]{17 + 2 \sqrt{110} i}} + \sqrt[3]{17 + 2 \sqrt{110} i}
Solución numérica
x1=−0.387579327905985x_{1} = -0.387579327905985
x2=9.73806120137772x_{2} = 9.73806120137772
x3=2.64951812652826x_{3} = 2.64951812652826
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 12*x^2 + 21*x + 10.
((03−12⋅02)+0⋅21)+10\left(\left(0^{3} - 12 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 21\right) + 10
Resultado:
f(0)=10f{\left(0 \right)} = 10
Punto:
(0, 10)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−24x+21=03 x^{2} - 24 x + 21 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=7x_{2} = 7
Signos de extremos en los puntos:
(1, 20)

(7, -88)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=7x_{1} = 7
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[7,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[7, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,7]\left[1, 7\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−4)=06 \left(x - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((21x+(x3−12x2))+10)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(21 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 10\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((21x+(x3−12x2))+10)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(21 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 10\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 12*x^2 + 21*x + 10, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((21x+(x3−12x2))+10x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(21 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 10}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((21x+(x3−12x2))+10x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(21 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 10}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(21x+(x3−12x2))+10=−x3−12x2−21x+10\left(21 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 10 = - x^{3} - 12 x^{2} - 21 x + 10
- No
(21x+(x3−12x2))+10=x3+12x2+21x−10\left(21 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 10 = x^{3} + 12 x^{2} + 21 x - 10
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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