Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-2x-2)/(x-1)

Gráfico de la función y = (x^2-2x-2)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 2*x - 2
f(x) = ------------
          x - 1
f(x)=(x2−2x)−2x−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x - 1} 
f = (x^2 - 2*x - 2)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−2x)−2x−1=0\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1−3x_{1} = 1 - \sqrt{3}
x2=1+3x_{2} = 1 + \sqrt{3}
Solución numérica
x1=2.73205080756888x_{1} = 2.73205080756888
x2=−0.732050807568877x_{2} = -0.732050807568877
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 2*x - 2)/(x - 1).
−2+(02−0)−1\frac{-2 + \left(0^{2} - 0\right)}{-1}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−2x−1−(x2−2x)−2(x−1)2=0\frac{2 x - 2}{x - 1} - \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(1+−x2+2x+2(x−1)2)x−1=0- \frac{2 \left(1 + \frac{- x^{2} + 2 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)−2x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2x)−2x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2*x - 2)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2x)−2x(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x2−2x)−2x(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−2x)−2x−1=x2+2x−2−x−1\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x - 1} = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{- x - 1}
- No
(x2−2x)−2x−1=−x2+2x−2−x−1\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x - 1} = - \frac{x^{2} + 2 x - 2}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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