Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)^(2*x)-1

Gráfico de la función y = sin(x)^(2*x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2*x       
f(x) = sin   (x) - 1
f(x)=sin⁡2x(x)−1f{\left(x \right)} = \sin^{2 x}{\left(x \right)} - 1 
f = sin(x)^(2*x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5e345e34
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2x(x)−1=0\sin^{2 x}{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=−23.5619451345134x_{1} = -23.5619451345134
x2=7.85398170864074x_{2} = 7.85398170864074
x3=14.1371669143592x_{3} = 14.1371669143592
x4=0x_{4} = 0
x5=20.4203523065721x_{5} = 20.4203523065721
x6=−29.8451300577985x_{6} = -29.8451300577985
x7=1.57079654459355x_{7} = 1.57079654459355
x8=−73.8274272664354x_{8} = -73.8274272664354
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^(2*x) - 1.
−1+sin⁡0⋅2(0)-1 + \sin^{0 \cdot 2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2xcos⁡(x)sin⁡(x)+2log⁡(sin⁡(x)))sin⁡2x(x)=0\left(\frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) \sin^{2 x}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=50.25x_{1} = 50.25
x2=94.25x_{2} = 94.25
x3=28.25x_{3} = 28.25
x4=84.2538436583344x_{4} = 84.2538436583344
x5=−23.5619449019235x_{5} = -23.5619449019235
x6=−80.1106126665397x_{6} = -80.1106126665397
x7=44x_{7} = 44
x8=25.6655988350586x_{8} = 25.6655988350586
x9=78.25x_{9} = 78.25
x10=−67.5442420521806x_{10} = -67.5442420521806
x11=34.3314278893891x_{11} = 34.3314278893891
x12=31.8272856283505x_{12} = 31.8272856283505
x13=90.3666984213818x_{13} = 90.3666984213818
x14=72.25x_{14} = 72.25
x15=69.8490588571744x_{15} = 69.8490588571744
x16=−4.71238898038469x_{16} = -4.71238898038469
x17=−10.9955742875643x_{17} = -10.9955742875643
x18=−36.1283155162826x_{18} = -36.1283155162826
x19=37.9280717553467x_{19} = 37.9280717553467
x20=−17.2787595947439x_{20} = -17.2787595947439
x21=88x_{21} = 88
x22=40.3948899302178x_{22} = 40.3948899302178
x23=46.4646417882951x_{23} = 46.4646417882951
x24=22x_{24} = 22
x25=14.1371669411541x_{25} = 14.1371669411541
x26=−73.8274273593601x_{26} = -73.8274273593601
x27=75.9174734612778x_{27} = 75.9174734612778
x28=58.1194640914112x_{28} = 58.1194640914112
x29=66x_{29} = 66
x30=96.4369300926124x_{30} = 96.4369300926124
x31=−42.4115008234622x_{31} = -42.4115008234622
x32=82x_{32} = 82
x33=100.25x_{33} = 100.25
x34=−29.845130209103x_{34} = -29.845130209103
Signos de extremos en los puntos:
(50.25, -1 + 1.19444368814827e-182*I)

(94.25, -1)

(28.25, -1)

(84.25384365833439, -1)

(-23.56194490192345, 0)

(-80.11061266653972, 0)

(44, -1)

(25.66559883505865, -0.999999999999999)

(78.25, -1)

(-67.54424205218055, 0)

(34.331427889389104, -1)

(31.827285628350534, -1)

(90.36669842138183, -1)

(72.25, -1)

(69.84905885717441, -1)

(-4.71238898038469, 0)

(-10.995574287564276, 0)

(-36.12831551628262, 0)

(37.928071755346735, -1)

(-17.278759594743864, 0)

(88, -1)

(40.394889930217765, -1)

(46.46464178829507, -1)

(22, -1)

(14.137166941154069, 0)

(-73.82742735936014, 0)

(75.91747346127778, -1)

(58.119464091411174, 0)

(66, -1)

(96.43693009261239, -1)

(-42.411500823462205, 0)

(82, -1)

(100.25, -1 + 2.02332372107778e-112*I)

(-29.845130209103036, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−23.5619449019235x_{1} = -23.5619449019235
x2=−80.1106126665397x_{2} = -80.1106126665397
x3=−67.5442420521806x_{3} = -67.5442420521806
x4=−4.71238898038469x_{4} = -4.71238898038469
x5=−10.9955742875643x_{5} = -10.9955742875643
x6=−36.1283155162826x_{6} = -36.1283155162826
x7=−17.2787595947439x_{7} = -17.2787595947439
x8=−73.8274273593601x_{8} = -73.8274273593601
x9=−42.4115008234622x_{9} = -42.4115008234622
x10=−29.845130209103x_{10} = -29.845130209103
Puntos máximos de la función:
x10=14.1371669411541x_{10} = 14.1371669411541
x10=58.1194640914112x_{10} = 58.1194640914112
Decrece en los intervalos
[−4.71238898038469,14.1371669411541]\left[-4.71238898038469, 14.1371669411541\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−80.1106126665397]\left(-\infty, -80.1106126665397\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−x−xcos⁡2(x)sin⁡2(x)+2(xcos⁡(x)sin⁡(x)+log⁡(sin⁡(x)))2+2cos⁡(x)sin⁡(x))sin⁡2x(x)=02 \left(- x - \frac{x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right)^{2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) \sin^{2 x}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=50.25x_{1} = 50.25
x2=57.1127964537965x_{2} = 57.1127964537965
x3=20.5774486718144x_{3} = 20.5774486718144
x4=96.4404060349191x_{4} = 96.4404060349191
x5=46.4685485733682x_{5} = 46.4685485733682
x6=31.824270690183x_{6} = 31.824270690183
x7=78.25x_{7} = 78.25
x8=75.9167628950754x_{8} = 75.9167628950754
x9=100.25x_{9} = 100.25
x10=82x_{10} = 82
x11=8.1084873599701x_{11} = 8.1084873599701
x12=37.9271545455678x_{12} = 37.9271545455678
x13=40.3969975408475x_{13} = 40.3969975408475
x14=28.25x_{14} = 28.25
x15=44x_{15} = 44
x16=66x_{16} = 66
x17=88x_{17} = 88
x18=22x_{18} = 22
x19=94.25x_{19} = 94.25
x20=2.11349285584283x_{20} = 2.11349285584283
x21=90.3679351427243x_{21} = 90.3679351427243
x22=69.84699578493x_{22} = 69.84699578493
x23=84.2538767034379x_{23} = 84.2538767034379
x24=34.3325460993538x_{24} = 34.3325460993538
x25=72.25x_{25} = 72.25

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[20.5774486718144,∞)\left[20.5774486718144, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2.11349285584283]\left(-\infty, 2.11349285584283\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(sin⁡2x(x)−1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2 x}{\left(x \right)} - 1\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(sin⁡2x(x)−1)y = \lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2 x}{\left(x \right)} - 1\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^(2*x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡2x(x)−1x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2 x}{\left(x \right)} - 1}{x}\right)
lim⁡x→∞(sin⁡2x(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2 x}{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2x(x)−1=−1+(−sin⁡(x))−2x\sin^{2 x}{\left(x \right)} - 1 = -1 + \left(- \sin{\left(x \right)}\right)^{- 2 x}
- No
sin⁡2x(x)−1=1−(−sin⁡(x))−2x\sin^{2 x}{\left(x \right)} - 1 = 1 - \left(- \sin{\left(x \right)}\right)^{- 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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