Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
y^2+1
-
x/(x-1)
-
x/(x^2-1)
- Integral de d{x}:
- x/(x^2-3x+2)
- Derivada de:
-
x/(x^2-3x+2)
-
Expresiones idénticas
- x/(x^ dos -3x+ dos)
- x dividir por (x al cuadrado menos 3x más 2)
- x dividir por (x en el grado dos menos 3x más dos)
- x/(x2-3x+2)
- x/x2-3x+2
- x/(x²-3x+2)
- x/(x en el grado 2-3x+2)
- x/x^2-3x+2
- x dividir por (x^2-3x+2)
-
Expresiones semejantes
- x/(x^2+3x+2)
- x/(x^2-3x-2)
Gráfico de la función y = x/(x^2-3x+2)
Solución
Ha introducido
[src]
x
f(x) = ------------
2
x - 3*x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}$$
f = x/(x^2 - 3*x + 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(3 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(3 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ -\/ 2
(-\/ 2, -----------)
___
4 + 3*\/ 2 ___
___ \/ 2
(\/ 2, -----------)
___
4 - 3*\/ 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) - 2 x + 3\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^2 - 3*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = - \frac{x}{x^{2} + 3 x + 2}$$
- No
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = \frac{x}{x^{2} + 3 x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = - \frac{x}{x^{2} + 3 x + 2}$$
- No
$$\frac{x}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = \frac{x}{x^{2} + 3 x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar