Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
y^2+1
-
x/(x-1)
-
x/(x^2-1)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres + cuatro *x^ dos - cuatro *x
- x al cubo más 4 multiplicar por x al cuadrado menos 4 multiplicar por x
- x en el grado tres más cuatro multiplicar por x en el grado dos menos cuatro multiplicar por x
- x3+4*x2-4*x
- x³+4*x²-4*x
- x en el grado 3+4*x en el grado 2-4*x
- x^3+4x^2-4x
- x3+4x2-4x
-
Expresiones semejantes
- x^3+4*x^2+4*x
- x^3-4*x^2-4*x
Gráfico de la función y = x^3+4*x^2-4*x
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = x + 4*x - 4*x
$$f{\left(x \right)} = - 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)$$
f = -4*x + x^3 + 4*x^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{2} - 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.82842712474619$$
$$x_{3} = -4.82842712474619$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{2} - 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.82842712474619$$
$$x_{3} = -4.82842712474619$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} + 8 x - 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{7}}{3} - \frac{4}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{7}}{3} - \frac{4}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{7}}{3} - \frac{4}{3}\right] \cup \left[- \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{7}}{3} - \frac{4}{3}, - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} + 8 x - 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{7}}{3} - \frac{4}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
___ / ___\ / ___\ ___
4 2*\/ 7 16 | 4 2*\/ 7 | | 4 2*\/ 7 | 8*\/ 7
(- - + -------, -- + |- - + -------| + 4*|- - + -------| - -------)
3 3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / 3 3 2
___ / ___\ / ___\ ___
4 2*\/ 7 16 | 4 2*\/ 7 | | 4 2*\/ 7 | 8*\/ 7
(- - - -------, -- + |- - - -------| + 4*|- - - -------| + -------)
3 3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{7}}{3} - \frac{4}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{7}}{3} - \frac{4}{3}\right] \cup \left[- \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{7}}{3} - \frac{4}{3}, - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x + 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x + 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 4*x^2 - 4*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = - x^{3} + 4 x^{2} + 4 x$$
- No
$$- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = x^{3} - 4 x^{2} - 4 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = - x^{3} + 4 x^{2} + 4 x$$
- No
$$- 4 x + \left(x^{3} + 4 x^{2}\right) = x^{3} - 4 x^{2} - 4 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico