Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3
-
4*x
-
(x^3+x^2-3x-1)/(2x^2-2)
-
sqrt(x^2+2*x-15)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres +x^ dos -3x- uno)/(dos x^ dos -2)
- (x al cubo más x al cuadrado menos 3x menos 1) dividir por (2x al cuadrado menos 2)
- (x en el grado tres más x en el grado dos menos 3x menos uno) dividir por (dos x en el grado dos menos 2)
- (x3+x2-3x-1)/(2x2-2)
- x3+x2-3x-1/2x2-2
- (x³+x²-3x-1)/(2x²-2)
- (x en el grado 3+x en el grado 2-3x-1)/(2x en el grado 2-2)
- x^3+x^2-3x-1/2x^2-2
- (x^3+x^2-3x-1) dividir por (2x^2-2)
-
Expresiones semejantes
- (x^3+x^2-3x-1)/(2x^2+2)
- (x^3+x^2+3x-1)/(2x^2-2)
- (x^3-x^2-3x-1)/(2x^2-2)
- (x^3+x^2-3x+1)/(2x^2-2)
Gráfico de la función y = (x^3+x^2-3x-1)/(2x^2-2)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
x + x - 3*x - 1
f(x) = -----------------
2
2*x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2}$$
f = (-3*x + x^3 + x^2 - 1)/(2*x^2 - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{1 + 3 \sqrt{111} i}}{3} - \frac{10}{3 \sqrt[3]{1 + 3 \sqrt{111} i}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.311107817465982$$
$$x_{2} = 1.48119430409202$$
$$x_{3} = -2.17008648662603$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{1 + 3 \sqrt{111} i}}{3} - \frac{10}{3 \sqrt[3]{1 + 3 \sqrt{111} i}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.311107817465982$$
$$x_{2} = 1.48119430409202$$
$$x_{3} = -2.17008648662603$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x \left(\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1\right)}{\left(2 x^{2} - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} + 2 x - 3}{2 x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x \left(\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1\right)}{\left(2 x^{2} - 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} + 2 x - 3}{2 x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x - \frac{2 x \left(3 x^{2} + 2 x - 3\right)}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} + x^{2} - 3 x - 1\right)}{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + x^2 - 3*x - 1)/(2*x^2 - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x \left(2 x^{2} - 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x \left(2 x^{2} - 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x \left(2 x^{2} - 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x \left(2 x^{2} - 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2} = \frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 2}$$
- No
$$\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2} = - \frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2} = \frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 2}$$
- No
$$\frac{\left(- 3 x + \left(x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{2 x^{2} - 2} = - \frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 1}{2 x^{2} - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico