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Trazado el gráfico de la función/ 1/(x^2+6x+8)

Gráfico de la función y = 1/(x^2+6x+8)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1      
f(x) = ------------
        2          
       x  + 6*x + 8
f(x)=1(x2+6x)+8f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 8} 
f = 1/(x^2 + 6*x + 8)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−4x_{1} = -4
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1(x2+6x)+8=0\frac{1}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x^2 + 6*x + 8).
1(02+0⋅6)+8\frac{1}{\left(0^{2} + 0 \cdot 6\right) + 8}
Resultado:
f(0)=18f{\left(0 \right)} = \frac{1}{8}
Punto:
(0, 1/8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x−6((x2+6x)+8)2=0\frac{- 2 x - 6}{\left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]\left(-\infty, -3\right]
Crece en los intervalos
[−3,∞)\left[-3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4(x+3)2x2+6x+8−1)(x2+6x+8)2=0\frac{2 \left(\frac{4 \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 6 x + 8} - 1\right)}{\left(x^{2} + 6 x + 8\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−4x_{1} = -4
x2=−2x_{2} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1(x2+6x)+8=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 8} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1(x2+6x)+8=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 8} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x^2 + 6*x + 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x((x2+6x)+8))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x((x2+6x)+8))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 8\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1(x2+6x)+8=1x2−6x+8\frac{1}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 8} = \frac{1}{x^{2} - 6 x + 8}
- No
1(x2+6x)+8=−1x2−6x+8\frac{1}{\left(x^{2} + 6 x\right) + 8} = - \frac{1}{x^{2} - 6 x + 8}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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