Sr Examen

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e^-x*(2x+1)
Trazado el gráfico de la función/ e^-x*(2x+1)

Gráfico de la función y = e^-x*(2x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x          
f(x) = E  *(2*x + 1)
f(x)=e−x(2x+1)f{\left(x \right)} = e^{- x} \left(2 x + 1\right) 
f = E^(-x)*(2*x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000500000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x(2x+1)=0e^{- x} \left(2 x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=53.6942425313464x_{1} = 53.6942425313464
x2=−0.5x_{2} = -0.5
x3=95.4338260411592x_{3} = 95.4338260411592
x4=73.5249255125242x_{4} = 73.5249255125242
x5=113.388919972831x_{5} = 113.388919972831
x6=83.4764689289016x_{6} = 83.4764689289016
x7=99.4222366337062x_{7} = 99.4222366337062
x8=38.03813223288x_{8} = 38.03813223288
x9=32.3410675911745x_{9} = 32.3410675911745
x10=119.377314419049x_{10} = 119.377314419049
x11=36.1186751093219x_{11} = 36.1186751093219
x12=81.485027376049x_{12} = 81.485027376049
x13=39.9708789291397x_{13} = 39.9708789291397
x14=79.4941007822398x_{14} = 79.4941007822398
x15=43.8646148590397x_{15} = 43.8646148590397
x16=103.411669111484x_{16} = 103.411669111484
x17=77.5037373857908x_{17} = 77.5037373857908
x18=59.6279716625789x_{18} = 59.6279716625789
x19=105.406727099247x_{19} = 105.406727099247
x20=91.446593786356x_{20} = 91.446593786356
x21=57.6480439081171x_{21} = 57.6480439081171
x22=93.4400516215572x_{22} = 93.4400516215572
x23=41.9137729445093x_{23} = 41.9137729445093
x24=87.4607301444495x_{24} = 87.4607301444495
x25=117.381035409709x_{25} = 117.381035409709
x26=121.373730091751x_{26} = 121.373730091751
x27=55.6700361039548x_{27} = 55.6700361039548
x28=69.5491236034661x_{28} = 69.5491236034661
x29=111.393101497946x_{29} = 111.393101497946
x30=61.6095756008659x_{30} = 61.6095756008659
x31=67.5625611495487x_{31} = 67.5625611495487
x32=109.397455729689x_{32} = 109.397455729689
x33=34.2171921723654x_{33} = 34.2171921723654
x34=47.784180482594x_{34} = 47.784180482594
x35=107.401993627038x_{35} = 107.401993627038
x36=75.5139916881833x_{36} = 75.5139916881833
x37=49.7508171320252x_{37} = 49.7508171320252
x38=89.4534774309093x_{38} = 89.4534774309093
x39=63.5926519716461x_{39} = 63.5926519716461
x40=51.7210220352017x_{40} = 51.7210220352017
x41=101.416833804928x_{41} = 101.416833804928
x42=85.4683825865519x_{42} = 85.4683825865519
x43=45.8218123455453x_{43} = 45.8218123455453
x44=97.4278945214929x_{44} = 97.4278945214929
x45=65.5770290761259x_{45} = 65.5770290761259
x46=115.384901052472x_{46} = 115.384901052472
x47=71.5366092859139x_{47} = 71.5366092859139
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(-x)*(2*x + 1).
e−0(0⋅2+1)e^{- 0} \left(0 \cdot 2 + 1\right)
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(2x+1)e−x+2e−x=0- \left(2 x + 1\right) e^{- x} + 2 e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
         -1/2 
(1/2, 2*e    )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2x−3)e−x=0\left(2 x - 3\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x(2x+1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(2 x + 1\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−x(2x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(2 x + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-x)*(2*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2x+1)e−xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x + 1\right) e^{- x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((2x+1)e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 1\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x(2x+1)=(1−2x)exe^{- x} \left(2 x + 1\right) = \left(1 - 2 x\right) e^{x}
- No
e−x(2x+1)=−(1−2x)exe^{- x} \left(2 x + 1\right) = - \left(1 - 2 x\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = e^-x*(2x+1)
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