Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(- 3 x + \frac{2 x \left(6 x^{2} + 4 x - 3\right)}{2 x^{2} - 1} - 1 - \frac{\left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 1\right)}{2 x^{2} - 1}\right)}{2 x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x + \frac{2 x \left(6 x^{2} + 4 x - 3\right)}{2 x^{2} - 1} - 1 - \frac{\left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 1\right)}{2 x^{2} - 1}\right)}{2 x^{2} - 1}\right) = -1.03343771847192 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to -0.707106781186548^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x + \frac{2 x \left(6 x^{2} + 4 x - 3\right)}{2 x^{2} - 1} - 1 - \frac{\left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 1\right)}{2 x^{2} - 1}\right)}{2 x^{2} - 1}\right) = -1.03343771847192 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^-}\left(\frac{2 \left(- 3 x + \frac{2 x \left(6 x^{2} + 4 x - 3\right)}{2 x^{2} - 1} - 1 - \frac{\left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 1\right)}{2 x^{2} - 1}\right)}{2 x^{2} - 1}\right) = 1.03343771847192 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 0.707106781186548^+}\left(\frac{2 \left(- 3 x + \frac{2 x \left(6 x^{2} + 4 x - 3\right)}{2 x^{2} - 1} - 1 - \frac{\left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 1\right)}{2 x^{2} - 1}\right)}{2 x^{2} - 1}\right) = 1.03343771847192 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$