Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- (dos x^ tres + dos x^ dos -3x- uno)/(2+4x^2)
- (2x al cubo más 2x al cuadrado menos 3x menos 1) dividir por (2 más 4x al cuadrado )
- (dos x en el grado tres más dos x en el grado dos menos 3x menos uno) dividir por (2 más 4x al cuadrado )
- (2x3+2x2-3x-1)/(2+4x2)
- 2x3+2x2-3x-1/2+4x2
- (2x³+2x²-3x-1)/(2+4x²)
- (2x en el grado 3+2x en el grado 2-3x-1)/(2+4x en el grado 2)
- 2x^3+2x^2-3x-1/2+4x^2
- (2x^3+2x^2-3x-1) dividir por (2+4x^2)
-
Expresiones semejantes
- (2x^3+2x^2+3x-1)/(2+4x^2)
- (2x^3-2x^2-3x-1)/(2+4x^2)
- (2x^3+2x^2-3x+1)/(2+4x^2)
- (2x^3+2x^2-3x-1)/(2-4x^2)
Gráfico de la función y = (2x^3+2x^2-3x-1)/(2+4x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
2*x + 2*x - 3*x - 1
f(x) = ---------------------
2
2 + 4*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2}$$
f = (-3*x + 2*x^3 + 2*x^2 - 1)/(4*x^2 + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1.70710678118655$$
$$x_{3} = -0.292893218813452$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1.70710678118655$$
$$x_{3} = -0.292893218813452$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{8 x \left(\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1\right)}{\left(4 x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{6 x^{2} + 4 x - 3}{4 x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{8 x \left(\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1\right)}{\left(4 x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{6 x^{2} + 4 x - 3}{4 x^{2} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x - \frac{2 x \left(6 x^{2} + 4 x - 3\right)}{2 x^{2} + 1} + 1 + \frac{\left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} + 1} - 1\right) \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 1\right)}{2 x^{2} + 1}\right)}{2 x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{2} i}{8}}}{3} - \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{2} i}{8}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x - \frac{2 x \left(6 x^{2} + 4 x - 3\right)}{2 x^{2} + 1} + 1 + \frac{\left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} + 1} - 1\right) \left(2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 1\right)}{2 x^{2} + 1}\right)}{2 x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{2} i}{8}}}{3} - \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{81}{8} + \frac{81 \sqrt{2} i}{8}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^3 + 2*x^2 - 3*x - 1)/(2 + 4*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{x \left(4 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{x \left(4 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{x \left(4 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{x \left(4 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2} = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 1}{4 x^{2} + 2}$$
- No
$$\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2} = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 1}{4 x^{2} + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2} = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 1}{4 x^{2} + 2}$$
- No
$$\frac{\left(- 3 x + \left(2 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 1}{4 x^{2} + 2} = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 1}{4 x^{2} + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar