Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- cos2xcos3x-sin2xsin3x
- coseno de 2x coseno de 3x menos seno de 2x seno de 3x
-
Expresiones semejantes
- cos2xcos3x+sin2xsin3x
Gráfico de la función y = cos2xcos3x-sin2xsin3x
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = cos(2*x)*cos(3*x) - sin(2*x)*sin(3*x)
$$f{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
f = -sin(2*x)*sin(3*x) + cos(2*x)*cos(3*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{9} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{10} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -26.0752190247953$$
$$x_{2} = -81.9955682586936$$
$$x_{3} = -97.7035315266426$$
$$x_{4} = 92.0486647501809$$
$$x_{5} = 14.1371669411541$$
$$x_{6} = 58.1194640914112$$
$$x_{7} = 24.1902634326414$$
$$x_{8} = 17.9070781254618$$
$$x_{9} = 95.1902574037707$$
$$x_{10} = 38.0132711084365$$
$$x_{11} = 36.1283155162826$$
$$x_{12} = -7.85398163397448$$
$$x_{13} = -58.1194640914112$$
$$x_{14} = -102.730079772386$$
$$x_{15} = 46.18141200777$$
$$x_{16} = 100.216805649514$$
$$x_{17} = 27.3318560862312$$
$$x_{18} = 12.2522113490002$$
$$x_{19} = -69.4291976443344$$
$$x_{20} = -11.6238928182822$$
$$x_{21} = 0.314159265358979$$
$$x_{22} = -75.712382951514$$
$$x_{23} = -36.1283155162826$$
$$x_{24} = 61.8893752757189$$
$$x_{25} = 32.3584043319749$$
$$x_{26} = -65.6592864600267$$
$$x_{27} = 44.2964564156161$$
$$x_{28} = -85.7654794430014$$
$$x_{29} = -4.08407044966673$$
$$x_{30} = -14.1371669411541$$
$$x_{31} = 80.1106126665397$$
$$x_{32} = 78.2256570743859$$
$$x_{33} = -61.8893752757189$$
$$x_{34} = 56.2345084992573$$
$$x_{35} = -93.9336203423348$$
$$x_{36} = -92.0486647501809$$
$$x_{37} = 54.3495529071034$$
$$x_{38} = 90.1637091580271$$
$$x_{39} = 93.9336203423348$$
$$x_{40} = 72.5707902979242$$
$$x_{41} = 83.8805238508475$$
$$x_{42} = -51.8362787842316$$
$$x_{43} = -103.358398303104$$
$$x_{44} = -29.845130209103$$
$$x_{45} = 60.0044196835651$$
$$x_{46} = -39.8982267005904$$
$$x_{47} = -60.0044196835651$$
$$x_{48} = 5.96902604182061$$
$$x_{49} = -31.7300858012569$$
$$x_{50} = 7.22566310325652$$
$$x_{51} = 16.0221225333079$$
$$x_{52} = 21.0486707790516$$
$$x_{53} = 76.340701482232$$
$$x_{54} = -95.8185759344887$$
$$x_{55} = 65.0309679293087$$
$$x_{56} = 68.1725605828985$$
$$x_{57} = 70.0575161750524$$
$$x_{58} = -83.8805238508475$$
$$x_{59} = 22.3053078404875$$
$$x_{60} = -53.0929158456675$$
$$x_{61} = 66.2876049907446$$
$$x_{62} = -49.9513231920777$$
$$x_{63} = -5.96902604182061$$
$$x_{64} = -43.6681378848981$$
$$x_{65} = 71.9424717672063$$
$$x_{66} = 48.0663675999238$$
$$x_{67} = -9.73893722612836$$
$$x_{68} = -63.7743308678728$$
$$x_{69} = 98.3318500573605$$
$$x_{70} = 88.2787535658732$$
$$x_{71} = -17.9070781254618$$
$$x_{72} = 27.9601746169492$$
$$x_{73} = 34.2433599241287$$
$$x_{74} = -16.0221225333079$$
$$x_{75} = -76.9690200129499$$
$$x_{76} = -73.8274273593601$$
$$x_{77} = -19.7920337176157$$
$$x_{78} = 88.9070720965912$$
$$x_{79} = 81.9955682586936$$
$$x_{80} = 49.9513231920777$$
$$x_{81} = -87.6504350351552$$
$$x_{82} = 26.0752190247953$$
$$x_{83} = -21.6769893097696$$
$$x_{84} = -71.9424717672063$$
$$x_{85} = 2.19911485751286$$
$$x_{86} = -27.9601746169492$$
$$x_{87} = 10.3672557568463$$
$$x_{88} = 39.8982267005904$$
$$x_{89} = -33.6150413934108$$
$$x_{90} = -70.0575161750524$$
$$x_{91} = -41.7831822927443$$
$$x_{92} = 4.08407044966673$$
$$x_{93} = -53.7212343763855$$
$$x_{94} = -80.1106126665397$$
$$x_{95} = -38.0132711084365$$
$$x_{96} = -48.0663675999238$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{9} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{10} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -26.0752190247953$$
$$x_{2} = -81.9955682586936$$
$$x_{3} = -97.7035315266426$$
$$x_{4} = 92.0486647501809$$
$$x_{5} = 14.1371669411541$$
$$x_{6} = 58.1194640914112$$
$$x_{7} = 24.1902634326414$$
$$x_{8} = 17.9070781254618$$
$$x_{9} = 95.1902574037707$$
$$x_{10} = 38.0132711084365$$
$$x_{11} = 36.1283155162826$$
$$x_{12} = -7.85398163397448$$
$$x_{13} = -58.1194640914112$$
$$x_{14} = -102.730079772386$$
$$x_{15} = 46.18141200777$$
$$x_{16} = 100.216805649514$$
$$x_{17} = 27.3318560862312$$
$$x_{18} = 12.2522113490002$$
$$x_{19} = -69.4291976443344$$
$$x_{20} = -11.6238928182822$$
$$x_{21} = 0.314159265358979$$
$$x_{22} = -75.712382951514$$
$$x_{23} = -36.1283155162826$$
$$x_{24} = 61.8893752757189$$
$$x_{25} = 32.3584043319749$$
$$x_{26} = -65.6592864600267$$
$$x_{27} = 44.2964564156161$$
$$x_{28} = -85.7654794430014$$
$$x_{29} = -4.08407044966673$$
$$x_{30} = -14.1371669411541$$
$$x_{31} = 80.1106126665397$$
$$x_{32} = 78.2256570743859$$
$$x_{33} = -61.8893752757189$$
$$x_{34} = 56.2345084992573$$
$$x_{35} = -93.9336203423348$$
$$x_{36} = -92.0486647501809$$
$$x_{37} = 54.3495529071034$$
$$x_{38} = 90.1637091580271$$
$$x_{39} = 93.9336203423348$$
$$x_{40} = 72.5707902979242$$
$$x_{41} = 83.8805238508475$$
$$x_{42} = -51.8362787842316$$
$$x_{43} = -103.358398303104$$
$$x_{44} = -29.845130209103$$
$$x_{45} = 60.0044196835651$$
$$x_{46} = -39.8982267005904$$
$$x_{47} = -60.0044196835651$$
$$x_{48} = 5.96902604182061$$
$$x_{49} = -31.7300858012569$$
$$x_{50} = 7.22566310325652$$
$$x_{51} = 16.0221225333079$$
$$x_{52} = 21.0486707790516$$
$$x_{53} = 76.340701482232$$
$$x_{54} = -95.8185759344887$$
$$x_{55} = 65.0309679293087$$
$$x_{56} = 68.1725605828985$$
$$x_{57} = 70.0575161750524$$
$$x_{58} = -83.8805238508475$$
$$x_{59} = 22.3053078404875$$
$$x_{60} = -53.0929158456675$$
$$x_{61} = 66.2876049907446$$
$$x_{62} = -49.9513231920777$$
$$x_{63} = -5.96902604182061$$
$$x_{64} = -43.6681378848981$$
$$x_{65} = 71.9424717672063$$
$$x_{66} = 48.0663675999238$$
$$x_{67} = -9.73893722612836$$
$$x_{68} = -63.7743308678728$$
$$x_{69} = 98.3318500573605$$
$$x_{70} = 88.2787535658732$$
$$x_{71} = -17.9070781254618$$
$$x_{72} = 27.9601746169492$$
$$x_{73} = 34.2433599241287$$
$$x_{74} = -16.0221225333079$$
$$x_{75} = -76.9690200129499$$
$$x_{76} = -73.8274273593601$$
$$x_{77} = -19.7920337176157$$
$$x_{78} = 88.9070720965912$$
$$x_{79} = 81.9955682586936$$
$$x_{80} = 49.9513231920777$$
$$x_{81} = -87.6504350351552$$
$$x_{82} = 26.0752190247953$$
$$x_{83} = -21.6769893097696$$
$$x_{84} = -71.9424717672063$$
$$x_{85} = 2.19911485751286$$
$$x_{86} = -27.9601746169492$$
$$x_{87} = 10.3672557568463$$
$$x_{88} = 39.8982267005904$$
$$x_{89} = -33.6150413934108$$
$$x_{90} = -70.0575161750524$$
$$x_{91} = -41.7831822927443$$
$$x_{92} = 4.08407044966673$$
$$x_{93} = -53.7212343763855$$
$$x_{94} = -80.1106126665397$$
$$x_{95} = -38.0132711084365$$
$$x_{96} = -48.0663675999238$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 5 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{9 \pi}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{5} = - \pi$$
$$x_{6} = - \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{7} = - \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{8} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{9} = \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{11} = \pi$$
$$x_{12} = \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{13} = \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{14} = 2 \pi$$
$$x_{15} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{16} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{17} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{18} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{19} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{20} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{9 \pi}{5}$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 \sqrt{5} - 2}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{7} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{9} = - 2 \pi + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- 4 \sqrt{5} - 4}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}$$
$$x_{10} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{10} = 0$$
$$x_{10} = - \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{10} = - \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{10} = - \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{10} = - \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{10} = 2 \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{9 \pi}{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 5 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{9 \pi}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{4} = - \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{5} = - \pi$$
$$x_{6} = - \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{7} = - \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{8} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{9} = \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{11} = \pi$$
$$x_{12} = \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{13} = \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{14} = 2 \pi$$
$$x_{15} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{16} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{17} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{18} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{19} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{20} = - 2 i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
___ / ___\ / ___\ -9*pi 5 \/ 5 | 1 \/ 5 | |1 \/ 5 | (-----, - - - ----- + |- - + -----|*|- - -----|) 5 8 8 \ 4 4 / \4 4 /
2
/ ___\ ___
-8*pi 5 | 1 \/ 5 | \/ 5
(-----, - + |- - - -----| - -----)
5 8 \ 4 4 / 8 2
/ ___\ ___
-6*pi 5 | 1 \/ 5 | \/ 5
(-----, - + |- - + -----| + -----)
5 8 \ 4 4 / 8 (-pi, -1)
2
/ ___\ ___
-4*pi 5 | 1 \/ 5 | \/ 5
(-----, - + |- - + -----| + -----)
5 8 \ 4 4 / 8 2
/ ___\ ___
-2*pi 5 | 1 \/ 5 | \/ 5
(-----, - + |- - - -----| - -----)
5 8 \ 4 4 / 8 ___ / ___\ / ___\ pi 5 \/ 5 | 1 \/ 5 | |1 \/ 5 | (--, - - - ----- + |- - + -----|*|- - -----|) 5 8 8 \ 4 4 / \4 4 /
2
/ ___\ ___
2*pi 5 | 1 \/ 5 | \/ 5
(----, - + |- - - -----| - -----)
5 8 \ 4 4 / 8 2
/ ___\ ___
4*pi 5 | 1 \/ 5 | \/ 5
(----, - + |- - + -----| + -----)
5 8 \ 4 4 / 8 (pi, -1)
2
/ ___\ ___
6*pi 5 | 1 \/ 5 | \/ 5
(----, - + |- - + -----| + -----)
5 8 \ 4 4 / 8 2
/ ___\ ___
8*pi 5 | 1 \/ 5 | \/ 5
(----, - + |- - - -----| - -----)
5 8 \ 4 4 / 8 (2*pi, 1)
/ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\
| ____ / ___ ___ ___ / ___ | | | ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ____ / ___ ___ ___ / ___ ||
|I \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 | | |I \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 ||
(-2*I*log|- - --------------------- + ------- + --------------------|, cos|4*I*log|- - --------------------- + ------- + --------------------||*cos|6*I*log|- - --------------------- + ------- + --------------------|| - sin|4*I*log|- - --------------------- + ------- + --------------------||*sin|6*I*log|- - --------------------- + ------- + --------------------||)
\4 8 4 8 / \ \4 8 4 8 // \ \4 8 4 8 // \ \4 8 4 8 // \ \4 8 4 8 // / ___________ ___________\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________\\
| ___ ___ / ___ ____ / ___ | | | ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ____ / ___ ||
| I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 | | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 ||
(-2*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------|, cos|4*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------||*cos|6*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------|| - sin|4*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------||*sin|6*I*log|- - - ------- - -------------------- + ---------------------||)
\ 4 4 8 8 / \ \ 4 4 8 8 // \ \ 4 4 8 8 // \ \ 4 4 8 8 // \ \ 4 4 8 8 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ____ / ___ ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ | | | ____ / ___ ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ____ / ___ ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ____ / ___ ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ || | | ____ / ___ ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ||
|I \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 | | |I \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 || | |I \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 ||
(-2*I*log|- - --------------------- + ------- + -------------------- + -------------------- + ---------------------|, cos|4*I*log|- - --------------------- + ------- + -------------------- + -------------------- + ---------------------||*cos|6*I*log|- - --------------------- + ------- + -------------------- + -------------------- + ---------------------|| - sin|4*I*log|- - --------------------- + ------- + -------------------- + -------------------- + ---------------------||*sin|6*I*log|- - --------------------- + ------- + -------------------- + -------------------- + ---------------------||)
\4 16 4 16 16 16 / \ \4 16 4 16 16 16 // \ \4 16 4 16 16 16 // \ \4 16 4 16 16 16 // \ \4 16 4 16 16 16 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ | | | ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ || | | ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ___ ___ / ___ ||
| I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 | | | I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | | I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | | I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 || | | I \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-2*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------|, cos|4*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------||*cos|6*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------|| - sin|4*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------||*sin|6*I*log|- - - -------------------- - --------------------- - --------------------- + ------- + --------------------||)
\ 4 16 16 16 4 16 / \ \ 4 16 16 16 4 16 // \ \ 4 16 16 16 4 16 // \ \ 4 16 16 16 4 16 // \ \ 4 16 16 16 4 16 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ | | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ||
| I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 | | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | | I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-2*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------|, cos|4*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------||*cos|6*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------|| - sin|4*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------||*sin|6*I*log|- - - ------- - -------------------- - -------------------- - --------------------- + ---------------------||)
\ 4 4 16 16 16 16 / \ \ 4 4 16 16 16 16 // \ \ 4 4 16 16 16 16 // \ \ 4 4 16 16 16 16 // \ \ 4 4 16 16 16 16 // / ___________ ___________ ___________ ___________\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\\
| ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ | | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ || | | ___ ___ / ___ ___ / ___ ____ / ___ ____ / ___ ||
|I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 | | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 || | |I I*\/ 5 \/ 2 *\/ 5 - \/ 5 \/ 2 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 + \/ 5 \/ 10 *\/ 5 - \/ 5 ||
(-2*I*log|- - ------- - -------------------- + -------------------- + --------------------- + ---------------------|, cos|4*I*log|- - ------- - -------------------- + -------------------- + --------------------- + ---------------------||*cos|6*I*log|- - ------- - -------------------- + -------------------- + --------------------- + ---------------------|| - sin|4*I*log|- - ------- - -------------------- + -------------------- + --------------------- + ---------------------||*sin|6*I*log|- - ------- - -------------------- + -------------------- + --------------------- + ---------------------||)
\4 4 16 16 16 16 / \ \4 4 16 16 16 16 // \ \4 4 16 16 16 16 // \ \4 4 16 16 16 16 // \ \4 4 16 16 16 16 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{9 \pi}{5}$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{5}$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{- 2 \sqrt{5} - 2}{- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{7} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{9} = - 2 \pi + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- 4 \sqrt{5} - 4}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}$$
$$x_{10} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{10} = 0$$
$$x_{10} = - \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{10} = - \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{10} = - \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{10} = - \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{2 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{4 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{6 \pi}{5}$$
$$x_{10} = \frac{8 \pi}{5}$$
$$x_{10} = 2 \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{9 \pi}{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$25 \left(\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{9} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{10} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{- 4 \sqrt{5} - 4}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$25 \left(\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{8} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} + \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{9} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4} \right)}$$
$$x_{10} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{16} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} + \frac{\sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{16} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{-4 + 4 \sqrt{5}}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{- 4 \sqrt{5} - 4}{- \sqrt{10} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{5} + 5} - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + \sqrt{10} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x)*cos(3*x) - sin(2*x)*sin(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
- Sí
$$- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
- Sí
$$- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par