Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(ln(x-3))

Gráfico de la función y = 1/(ln(x-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1     
f(x) = ----------
       log(x - 3)
f(x)=1log⁡(x−3)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\log{\left(x - 3 \right)}} 
f = 1/log(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1log⁡(x−3)=0\frac{1}{\log{\left(x - 3 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/log(x - 3).
1log⁡(−3)\frac{1}{\log{\left(-3 \right)}}
Resultado:
f(0)=1log⁡(3)+iπf{\left(0 \right)} = \frac{1}{\log{\left(3 \right)} + i \pi}
Punto:
(0, 1/(pi*i + log(3)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1(x−3)log⁡(x−3)2=0- \frac{1}{\left(x - 3\right) \log{\left(x - 3 \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1+2log⁡(x−3)(x−3)2log⁡(x−3)2=0\frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x - 3 \right)}}}{\left(x - 3\right)^{2} \log{\left(x - 3 \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−2+3x_{1} = e^{-2} + 3
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=4x_{1} = 4

lim⁡x→4−(1+2log⁡(x−3)(x−3)2log⁡(x−3)2)=−∞\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x - 3 \right)}}}{\left(x - 3\right)^{2} \log{\left(x - 3 \right)}^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→4+(1+2log⁡(x−3)(x−3)2log⁡(x−3)2)=∞\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x - 3 \right)}}}{\left(x - 3\right)^{2} \log{\left(x - 3 \right)}^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=4x_{1} = 4
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−2+3]\left(-\infty, e^{-2} + 3\right]
Convexa en los intervalos
[e−2+3,∞)\left[e^{-2} + 3, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4x_{1} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1log⁡(x−3)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(x - 3 \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1log⁡(x−3)=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(x - 3 \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/log(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xlog⁡(x−3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(x - 3 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1xlog⁡(x−3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(x - 3 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1log⁡(x−3)=1log⁡(−x−3)\frac{1}{\log{\left(x - 3 \right)}} = \frac{1}{\log{\left(- x - 3 \right)}}
- No
1log⁡(x−3)=−1log⁡(−x−3)\frac{1}{\log{\left(x - 3 \right)}} = - \frac{1}{\log{\left(- x - 3 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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