Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3x-1)/((2x-1)^2)

Gráfico de la función y = (3x-1)/((2x-1)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3*x - 1  
f(x) = ----------
                2
       (2*x - 1)
f(x)=3x−1(2x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{3 x - 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} 
f = (3*x - 1)/(2*x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x−1(2x−1)2=0\frac{3 x - 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Solución numérica
x1=0.333333333333333x_{1} = 0.333333333333333
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x - 1)/(2*x - 1)^2.
−1+0⋅3(−1+0⋅2)2\frac{-1 + 0 \cdot 3}{\left(-1 + 0 \cdot 2\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4−8x)(3x−1)(2x−1)4+3(2x−1)2=0\frac{\left(4 - 8 x\right) \left(3 x - 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{4}} + \frac{3}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=16x_{1} = \frac{1}{6}
Signos de extremos en los puntos:
(1/6, -9/8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=16x_{1} = \frac{1}{6}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[16,∞)\left[\frac{1}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,16]\left(-\infty, \frac{1}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
24(−1+3x−12x−1)(2x−1)3=0\frac{24 \left(-1 + \frac{3 x - 1}{2 x - 1}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.5x_{1} = 0.5

lim⁡x→0.5−(24(−1+3x−12x−1)(2x−1)3)=∞\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{24 \left(-1 + \frac{3 x - 1}{2 x - 1}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0.5+(24(−1+3x−12x−1)(2x−1)3)=∞\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{24 \left(-1 + \frac{3 x - 1}{2 x - 1}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{3}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x−1(2x−1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(3x−1(2x−1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x - 1)/(2*x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x−1x(2x−1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x - 1}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3x−1x(2x−1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x - 1}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x−1(2x−1)2=−3x−1(−2x−1)2\frac{3 x - 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = \frac{- 3 x - 1}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}
- No
3x−1(2x−1)2=−−3x−1(−2x−1)2\frac{3 x - 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = - \frac{- 3 x - 1}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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