Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$3 \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(3 \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(3 \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(3 \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(3 \left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[\sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right]$$