Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
-cos(2*x)-sin(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (dos *x^ dos - tres *x+ uno)/(tres *x^ dos +x+ cuatro)
- (2 multiplicar por x al cuadrado menos 3 multiplicar por x más 1) dividir por (3 multiplicar por x al cuadrado más x más 4)
- (dos multiplicar por x en el grado dos menos tres multiplicar por x más uno) dividir por (tres multiplicar por x en el grado dos más x más cuatro)
- (2*x2-3*x+1)/(3*x2+x+4)
- 2*x2-3*x+1/3*x2+x+4
- (2*x²-3*x+1)/(3*x²+x+4)
- (2*x en el grado 2-3*x+1)/(3*x en el grado 2+x+4)
- (2x^2-3x+1)/(3x^2+x+4)
- (2x2-3x+1)/(3x2+x+4)
- 2x2-3x+1/3x2+x+4
- 2x^2-3x+1/3x^2+x+4
- (2*x^2-3*x+1) dividir por (3*x^2+x+4)
-
Expresiones semejantes
- (2*x^2+3*x+1)/(3*x^2+x+4)
- (2*x^2-3*x+1)/(3*x^2+x-4)
- (2*x^2-3*x+1)/(3*x^2-x+4)
- (2*x^2-3*x-1)/(3*x^2+x+4)
Gráfico de la función y = (2*x^2-3*x+1)/(3*x^2+x+4)
Solución
Ha introducido
[src]
2
2*x - 3*x + 1
f(x) = --------------
2
3*x + x + 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4}$$
f = (2*x^2 - 3*x + 1)/(3*x^2 + x + 4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 6 x - 1\right) \left(\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1\right)}{\left(\left(3 x^{2} + x\right) + 4\right)^{2}} + \frac{4 x - 3}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{11} + \frac{2 \sqrt{42}}{11}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{42}}{11} - \frac{5}{11}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5}{11} + \frac{2 \sqrt{42}}{11}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{42}}{11} - \frac{5}{11}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{42}}{11} - \frac{5}{11}\right] \cup \left[- \frac{5}{11} + \frac{2 \sqrt{42}}{11}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{42}}{11} - \frac{5}{11}, - \frac{5}{11} + \frac{2 \sqrt{42}}{11}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 6 x - 1\right) \left(\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1\right)}{\left(\left(3 x^{2} + x\right) + 4\right)^{2}} + \frac{4 x - 3}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{11} + \frac{2 \sqrt{42}}{11}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{42}}{11} - \frac{5}{11}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ____\ ____
26 | 5 2*\/ 42 | 6*\/ 42
____ -- + 2*|- -- + --------| - --------
5 2*\/ 42 11 \ 11 11 / 11
(- -- + --------, ------------------------------------)
11 11 2
/ ____\ ____
39 | 5 2*\/ 42 | 2*\/ 42
-- + 3*|- -- + --------| + --------
11 \ 11 11 / 11 2
/ ____\ ____
26 | 5 2*\/ 42 | 6*\/ 42
____ -- + 2*|- -- - --------| + --------
5 2*\/ 42 11 \ 11 11 / 11
(- -- - --------, ------------------------------------)
11 11 2
/ ____\ ____
39 | 5 2*\/ 42 | 2*\/ 42
-- + 3*|- -- - --------| - --------
11 \ 11 11 / 11 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5}{11} + \frac{2 \sqrt{42}}{11}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{42}}{11} - \frac{5}{11}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{42}}{11} - \frac{5}{11}\right] \cup \left[- \frac{5}{11} + \frac{2 \sqrt{42}}{11}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{42}}{11} - \frac{5}{11}, - \frac{5}{11} + \frac{2 \sqrt{42}}{11}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{\left(4 x - 3\right) \left(6 x + 1\right)}{3 x^{2} + x + 4} + \frac{\left(\frac{\left(6 x + 1\right)^{2}}{3 x^{2} + x + 4} - 3\right) \left(2 x^{2} - 3 x + 1\right)}{3 x^{2} + x + 4} + 2\right)}{3 x^{2} + x + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{11} - \frac{\sqrt[3]{\frac{14364}{1331} + \frac{756 \sqrt{47} i}{121}}}{3} - \frac{504}{121 \sqrt[3]{\frac{14364}{1331} + \frac{756 \sqrt{47} i}{121}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{42} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{11 \sqrt{47}}{19} \right)}}{3} \right)}}{11} - \frac{5}{11}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{4 \sqrt{42} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{11 \sqrt{47}}{19} \right)}}{3} \right)}}{11} - \frac{5}{11}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{\left(4 x - 3\right) \left(6 x + 1\right)}{3 x^{2} + x + 4} + \frac{\left(\frac{\left(6 x + 1\right)^{2}}{3 x^{2} + x + 4} - 3\right) \left(2 x^{2} - 3 x + 1\right)}{3 x^{2} + x + 4} + 2\right)}{3 x^{2} + x + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{11} - \frac{\sqrt[3]{\frac{14364}{1331} + \frac{756 \sqrt{47} i}{121}}}{3} - \frac{504}{121 \sqrt[3]{\frac{14364}{1331} + \frac{756 \sqrt{47} i}{121}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{42} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{11 \sqrt{47}}{19} \right)}}{3} \right)}}{11} - \frac{5}{11}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{4 \sqrt{42} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{11 \sqrt{47}}{19} \right)}}{3} \right)}}{11} - \frac{5}{11}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4}\right) = \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4}\right) = \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4}\right) = \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4}\right) = \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{2}{3}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^2 - 3*x + 1)/(3*x^2 + x + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{x \left(\left(3 x^{2} + x\right) + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{x \left(\left(3 x^{2} + x\right) + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{x \left(\left(3 x^{2} + x\right) + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{x \left(\left(3 x^{2} + x\right) + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4} = \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x^{2} - x + 4}$$
- No
$$\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4} = - \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x^{2} - x + 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4} = \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x^{2} - x + 4}$$
- No
$$\frac{\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1}{\left(3 x^{2} + x\right) + 4} = - \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{3 x^{2} - x + 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar